The analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.

Abstract

Diese Dissertation liefert einen Beitrag zum Studium verschiedener durch neue Resultate im Gebiet der Toeplitz Operatoren auf Bergman Räumen aufgeworfener analytischer Probleme. Wir studieren Fragen zur Existenz und zur Konstruktion kommutierender Toeplitz Operatoren mit quasi-homogenen Symbolen auf dem Segal-Bargmann Raum über der komplexen Ebene $\mathbb{C}$. Zu jedem gegebenen Monom $z^l\overline{z}^k$ charakterisieren wir dabei insbesondere diejenigen Funktionen $F$ mit polynomiellem Wachstum im Unendlichen, die zu kommutierenden Toeplitz Operatoren $T_F$ und $T_{z^l\overline{z}^k}$ auf dem Raum der holomorphen Polynome auf $\mathbb{C}$ führen. Wir konstruieren zwei Typen kommutativer Banach und $C^*$-Algebren, die jeweils durch Toeplitz Operatoren auf dem Segal-Bargmann Raum über $\mathbb{C}^n$ erzeugt sind. Es wird gezeigt, dass die Klasse der dieser $C^*$-Algebren zugrundeliegenden Operatorsymbole auch zu kommutativen Toeplitz $C^*$-Algebren über den sog. {\it true-$k$-Fock Räumen} führt. Über Techniken aus der Theorie der Toeplitz Operatoren werden die Wärmeleitungskerne einer Klasse positiver sub-elliptischer Differentialoperatoren konstruiert. Als Anwendung erhalten wir so den Wärmeleitungskern des {\it Grusin Operators} auf $\mathbb{R}^{n+1}$ und des sub-Laplace Operators auf der $(2n+1)$-dimensionalen Heisenberg Gruppe. Schliesslich beschäftigt sich die Arbeit mit Kompaktheitskriterien für Toeplitz Operatoren $T_g^{\nu}$ auf den standard-gewichteten Bergman Räumen über beschränkten symmetrischen Gebieten. Wir erhalten eine neue Abschätzung der Berezin Transformation $\tilde{g}_{\nu_0}$ in Ausdrücken der Operatornorm von $T_g^{\nu}$ im Falle geeignet gewählter Gewichte $\nu$ und $\nu_0$. Als eine Anwendung zeigen wir, dass für ein beschränktes Operatorsymbol $g$ auf einem beschränkten symmetrischen Gebiet die Kompaktheit von $T_g^{\nu}$ unabhängig vom Gewichtsparameter $\nu$ ist solange $\nu$ hinreichend grofl gewählt wurde.