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A discrete geometric view on shear-deformable shell models

Eine geometrische Betrachtung von schubweichen Schalenmodellen

by Clarisse Weischedel
Doctoral thesis
Date of Examination:2012-06-18
Date of issue:2012-08-15
Advisor:Prof. Dr. Max Wardetzky
Referee:Prof. Dr. Max Wardetzky
Referee:Prof. Dr. Bernd Simeon
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2453

 

 

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Format:PDF
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Abstract

English

This thesis presents the construction of a geometrically nonlinear shear-deformable (Cosserat type) shell model by methods from discrete differential geometry (DDG). The model aims at applications in real-time simulations of large deformations of plates and shells. While the more classical finite element approach has shown to yield quantitatively accurate models for a high number of degrees of freedom, the framework of DDG, originally used in computer graphic applications to construct simple yet physically plausible simulations, allows to obtain a concise geometric model that behaves qualitatively correct already on very coarse meshes. The described Discrete Cosserat Shell model is built in several steps. The smooth deformation energy of a shearable shell, usually expressed in an index-prone coordinate notation adapted to a finite element discretization, is reformulated in terms of few, frame-invariant, differential geometric entities. To obtain a discrete deformation energy, we then use insights from the solution theory for the linear Reissner-Mindlin plate equations to construct discrete pendants of these entities which preserve the core properties of the smooth ones. The resulting deformation energy is proven to be consistent with the smooth energy. Numerical validations on linear and nonlinear benchmarks further illustrate the good qualitative behavior of the model as well as its satisfying convergence behavior.
Keywords: discrete differentialgeometry; non-linear shell models; Reissner-Mindlin; discrete deformation energy; low-order discretization

Other Languages

Diese Dissertation beschreibt die Konstruktion eines geometrisch nicht-linearen schubweichen (Cosserat) Schalenmodells durch Methoden aus der diskreten Differentialgeometrie (DDG). Das Modell zielt dabei auf Anwendungen in Echtzeit-Simulation von großen Deformationen von Platten und Schalen ab. Während der klassische Finite Elemente Ansatz sich für die Konstruktion von quantitativ korrekten Modellen mit einer hohen Anzahl an Freiheitsgraden bewährt hat, liefert der DDG Ansatz, welcher ursprünglich in Cmputergrafik-Anwendungen für einfache aber physikalisch plausible Simulation genutzt wurde, einen Rahmen um ein elementares geometrisches Schalenmodell zu bauen, dass sich schon auf sehr groben Netzen zumindest qualitativ korrekt verhält. Das vorgestellte Discrete Cosserat Shell Modell wird in mehreren Schritten konstruiert. Zunächst wird die glatte Deformationsenergie einer schubweichen Schale, welche üblicherweise einer Koordinatenschreibweise formuliert wird die mit Finite Elemente Diskretisierungen kompatibel ist, umgeschrieben und durch einige wenige differentialgeometrische Größen ausgedrückt. Um daraus die diskrete Deformationsenergie abzuleiten, nutzen wir Erkenntnisse über die Lösungstheorie der linearisierten Version des Modells, der sogenannten Reissner-Mindlin Platte. Es wird gezeigt, dass die resultierende Deformationsenergie konsistent ist. Numerische Validierungen durch lineare und nicht-lineare Benchmarks illustrieren das natürliche qualitative Verhalten des Schalenmodells sowie eine zufriedenstellendes Konvergenzverhalten.
Schlagwörter: Diskrete Differentialgeometrie; nicht-lineare Schalenmodelle; Reissner-Mindlin; diskrete Deformationsenergie; schubweiche Schalenmodelle
 

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