A discrete geometric view on shear-deformable shell models

Abstract

Diese Dissertation beschreibt die Konstruktion eines geometrisch nicht-linearen schubweichen (Cosserat) Schalenmodells durch Methoden aus der diskreten Differentialgeometrie (DDG). Das Modell zielt dabei auf Anwendungen in Echtzeit-Simulation von großen Deformationen von Platten und Schalen ab. Während der klassische Finite Elemente Ansatz sich für die Konstruktion von quantitativ korrekten Modellen mit einer hohen Anzahl an Freiheitsgraden bewährt hat, liefert der DDG Ansatz, welcher ursprünglich in Cmputergrafik-Anwendungen für einfache aber physikalisch plausible Simulation genutzt wurde, einen Rahmen um ein elementares geometrisches Schalenmodell zu bauen, dass sich schon auf sehr groben Netzen zumindest qualitativ korrekt verhält. Das vorgestellte Discrete Cosserat Shell Modell wird in mehreren Schritten konstruiert. Zunächst wird die glatte Deformationsenergie einer schubweichen Schale, welche üblicherweise einer Koordinatenschreibweise formuliert wird die mit Finite Elemente Diskretisierungen kompatibel ist, umgeschrieben und durch einige wenige differentialgeometrische Größen ausgedrückt. Um daraus die diskrete Deformationsenergie abzuleiten, nutzen wir Erkenntnisse über die Lösungstheorie der linearisierten Version des Modells, der sogenannten Reissner-Mindlin Platte. Es wird gezeigt, dass die resultierende Deformationsenergie konsistent ist. Numerische Validierungen durch lineare und nicht-lineare Benchmarks illustrieren das natürliche qualitative Verhalten des Schalenmodells sowie eine zufriedenstellendes Konvergenzverhalten.