Locating median lines and hyperplanes with a restriction on the slope
Platzierung von Mediangeraden und Medianhyperebenen mit einer Beschränkung der Steigung
Thorsten Krempasky
Doctoral thesis
Date of Examination:
2012-05-17
Date of issue:
2012-10-02
Advisor:
Schöbel, Anita Prof. Dr.
Referee:
Schöbel, Anita Prof. Dr.
Referee:
Schneider, Ulrike Prof. Dr.
Persistent Address: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-000D-F06F-4
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Abstract
English
In this thesis, we consider the location of median lines when there is a restriction on the slope of the line to locate as well as the more general location of median hyperplanes when there is a restriction on the slope vector of the hyperplane to locate. We are given a set of existing facilities in R^2 or R^n and we are searching for a new facility that is a line or a hyperplane, respectively, minimizing the sum of distances between the existing facilities and the new facility while satisfying a restriction on its slope. We investigate this problem in the plane R^2 using different distance measures and present what kind of different geometrical features these problems have if we let the restriction vary and which features all of them share. Afterwards we generalize our results for the location of a median line using vertical distance to the location of a median hyperplane using vertical distance. We will prove that there exists an optimal trajectory that is continuous for this problem and we will present a method to construct such an optimal trajectory exploring the geometrical properties of the problem. On our way we will point out that there is a strong connection between the location of a hyperplane with a restriction on the slope and the RLAD regression problem from the field of robust statistics.
Keywords: median hyperplane location; optimal trajectory; robust regression
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In dieser Arbeit untersuchen wir die
Platzierung von Mediangeraden mit einer Beschränkung der Steigung
sowie das allgemeinere Problem der Platzierung von
Medianhyperebenen mit einer Beschränkung des Steigungsvektors.
Dabei ist eine Menge existierender Einrichtungen in R^2 bzw. R^n
gegeben und wir suchen einen Standort für eine neue Einrichtung,
die einer Gerade bzw. einer Hyperebene entspricht, so dass die
Summe der Abstände zwischen den existierenden Einrichtungen und der
neuen Einrichtung minimiert wird, während gleichzeitig die
Beschränkung der Steigung der neuen Einrichtung nicht verletzt
wird. Dieses Problem untersuchen wir im R^2 mit verschiedenen
Distanzen und gehen auf die Unterschiede und Gemeinsamkeiten in den
geometrischen Eigenschaften der Probleme mit verschiedenen
Distanzen ein, wenn die Beschränkung variiert. Anschließend
verallgemeinern wir die Resultate für die Platzierung von
Mediangeraden mit vertikalem Abstand auf die Platzierung von
Medianhyperebenen mit vertikalem Abstand. Für dieses Problem
beweisen wir die Existenz einer stetigen optimalen Trajektorie und
präsentieren, wie eine solche optimale Trajektorie konstruiert
werden kann, indem die geometrischen Eigenschaften des Problems
genutzt werden. Im Laufe der Arbeit zeigen wir einen engen
Zusammenhang zwischen der Platzierung einer Hyperebene mit einer
Beschränkung der Steigung und der RLAD Regression aus dem Gebiet
der robusten Statistik auf.
Schlagwörter: Medianhyperebenenplatzierung; optimale Trajektorie; robuste Regression
