Locating median lines and hyperplanes with a restriction on the slope

Abstract

In dieser Arbeit untersuchen wir die Platzierung von Mediangeraden mit einer Beschränkung der Steigung sowie das allgemeinere Problem der Platzierung von Medianhyperebenen mit einer Beschränkung des Steigungsvektors. Dabei ist eine Menge existierender Einrichtungen in R^2 bzw. R^n gegeben und wir suchen einen Standort für eine neue Einrichtung, die einer Gerade bzw. einer Hyperebene entspricht, so dass die Summe der Abstände zwischen den existierenden Einrichtungen und der neuen Einrichtung minimiert wird, während gleichzeitig die Beschränkung der Steigung der neuen Einrichtung nicht verletzt wird. Dieses Problem untersuchen wir im R^2 mit verschiedenen Distanzen und gehen auf die Unterschiede und Gemeinsamkeiten in den geometrischen Eigenschaften der Probleme mit verschiedenen Distanzen ein, wenn die Beschränkung variiert. Anschließend verallgemeinern wir die Resultate für die Platzierung von Mediangeraden mit vertikalem Abstand auf die Platzierung von Medianhyperebenen mit vertikalem Abstand. Für dieses Problem beweisen wir die Existenz einer stetigen optimalen Trajektorie und präsentieren, wie eine solche optimale Trajektorie konstruiert werden kann, indem die geometrischen Eigenschaften des Problems genutzt werden. Im Laufe der Arbeit zeigen wir einen engen Zusammenhang zwischen der Platzierung einer Hyperebene mit einer Beschränkung der Steigung und der RLAD Regression aus dem Gebiet der robusten Statistik auf.