Explicit GL(2) trac formulas and uniform, mixed Weyl laws
Exlpizite GL(2) Spurformeln und uniforme, gemischte Weyl'sche Gesetze
Marc Palm
Doctoral thesis
Date of Examination:
2012-09-21
Date of issue:
2012-10-24
Advisor:
Blomer, Valentin Prof. Dr.
Advisor:
Meyer, Ralf Prof. Dr.
Referee:
Blomer, Valentin Prof. Dr.
Referee:
Meyer, Ralf Prof. Dr.
Persistent Address: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-000D-F074-7
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Abstract
English
This thesis provides an explicit, general trace formula for the Hecke and Casimir eigenvalues of GL(2)-automorphic representations over a global field. In special cases, we obtain Selberg's original trace formula. Computations for the determinant of the scattering matrices, the residues of the Eisenstein series, etc. are provided. The first instance of a mixed, uniform Weyl law for every algebraic number field is given as standard application. ``Mixed'' means that automorphic forms with preassigned discrete series representation at a set of real places are counted. ``Uniform'' indicates that the estimates implicitly depend on the number field, but not on the congruence subgroup. The method of proof relies on a suitable partition of the cuspidal, automorphic spectrum, and the explication of the non-invariant Arthur trace formula via Bushnell and Kutzko's theory of types. A pseudo matrix coefficient for each local, square-integrable representation, i.e., the discrete series, the supercuspidal, or the Steinberg representation, is constructed explicitly.
Keywords: Trace formula; Weyl law; Hecke eigenvalues; automorphic forms; Maass wave forms
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Diese Doktorarbeit liefert eine explizite,
allgemeine Spurformel für die Hecke- und Casimir-Eigenwerte von
GL(2)-automorphen Formen über einem globalen Körper. In speziellen
Fällen erhält man die Selberg'sche Spurformel für die Eigenwerte
des Beltrami-Laplace Operators. Berechnungen der Streuungsmatrixen,
Residuen der Eisensteinreihen, usw. werden präsentiert. Die erste
Variante eines gemischten, gleichmässigen Weyl'schen Gesetzes für
jeden algebraischen Zahlkörper wird als eine Standardanwendung
gegeben. Gemischt impliziert, dass automorphe Formen mit vorgegeben
diskreten Reihen an einigen der reellen Stellen gezählt werden. Die
Abschätzungen sind gleichmässig in dem Sinne, das Fehlerterm nur
von dem Zahlkörper abhängen, nicht aber von der
Kongruenzuntergruppe. Der Beweismethode liegt eine Partition des
kuspidalen automorphen Spektrum, und dessen Analysis durch eine
Verfeinerung der Arthurschen Spurformel mit Bushnell/Kutzko's
Theorie der Typen zu Grunde. Pseudomatrixkoeffizienten werden für
alle lokalen, quadratintegrierbaren Darstellungen, das heisst, die
diskrete Reihen, die superkuspidalen, und die Steinberg'schen
Darstellungen konstruiert.
Schlagwörter: Spurformel; Weyl; automorphe Formen; Heckeeigenwerte; Maassformen
