Pathwise Uniqueness of the Stochastic Heat Equation with Hölder continuous o diffusion coefficient and colored noise
Pfadweise Eindeutigkeit der stochastischen Wärmeleitungsgleichung mit Hölder-stetigem Diffusionskoeffizienten und farbigem Rauschen
Thomas Rippl
Doctoral thesis
Date of Examination:
2012-10-29
Date of issue:
2013-01-15
Advisor:
Sturm, Anja Prof. Dr.
Referee:
Sturm, Anja Prof. Dr.
Referee:
Winter, Anita Prof. Dr.
Referee:
Mytnik, Leonid Prof. Dr.
Persistent Address: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-000D-F0ED-A
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Format:
PDF
Description:
Dissertation
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Abstract
English
We consider the stochastic heat equation in $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^q$ with multiplicative noise: \[ \partial_t u(t,x) = \frac{1}{2} \Delta u(t,x) + b(t,x,u(t,x)) + \sigma(t,x,u(t,x)) \, \dot{W}(t,x) .\] Here, $\dot{W}$ is a centered Gaussian noise which is white in time and colored in space with correlation kernel $k(x,y) \leq const ( |x-y|^{- \alpha } +1)$ for $x,y \in \mathbb{R}^q$ and $\alpha \in (0, 2 \wedge q)$: $E[\dot{W}(t,x)\dot{W}(s,y)] =\delta(s-t) k(x,y).$ Our main result states that if the noise coefficient $\sigma$ is H\"older-continuous of order $\gamma$ in the solution $u$ and satisfies $\alpha < 2(2\gamma -1),$ then the equation has a pathwise unique solution. This was conjectured by Mytnik and Perkins in 2011. Additionally, if $q =1$, we show that the compact support property holds for nonnegative solutions of the stochastic heat equation with $\sigma(t,x,u) = u^\gamma$ for all $\alpha, \gamma \in (0,1)$.
Keywords: Heat equation; colored noise; stochastic partial differential equation; pathwise uniqueness; compact support property
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Wir betrachten die stochastische
W\"armeleitungsgleichung in $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^q$ mit
farbigem Rauschen. \[ \partial_t u(t,x) = \frac{1}{2} \Delta u(t,x)
+ b(t,x,u(t,x)) + \sigma(t,x,u(t,x)) \, \dot{W}(t,x) .\] Hierbei
ist $\dot{W}$ ein zentriertes Gaußsches Rauschen, welches weiß in
der Zeit ist und farbig im Raum mit einem Korrelationskern $k(x,y)
\leq const ( |x-y|^{- \alpha } +1)$ für $x,y \in \mathbb{R}^q$ und
$\alpha \in (0, 2 \wedge q)$: $E[\dot{W}(t,x)\dot{W}(s,y)]
=\delta(s-t) k(x,y).$ Das Hauptresultat der Arbeit sagt, dass wenn
der Koeffizient des Rauschens $\sigma$ Hölder-stetig von Ordnung
$\gamma$ in der Lösung $u$ ist und es gilt, dass $\alpha <
2(2\gamma -1),$ dann hat die Gleichung eine pfadweise eindeutige
Lösung. Diese Aussage wurde von Mytnik und Perkins 2011 vermutet.
Zudem wird gezeigt, dass im Fall $q =1$ die sogenannte compact
support property für nichtnegative Lösungen der stochastischen
Wärmeleitungsgleichung mit $\sigma(t,x,u) = u^\gamma$ für alle
$\alpha, \gamma \in (0,1)$ gilt.
Schlagwörter: Wärmeleitungsgleichung; farbiges Rauschen; stochastische partielle Differentialgleichung; pfadweise Eindeutigkeit
