Pathwise Uniqueness of the Stochastic Heat Equation with Hölder continuous o diffusion coefficient and colored noise

Abstract

Wir betrachten die stochastische W\"armeleitungsgleichung in $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^q$ mit farbigem Rauschen. \[ \partial_t u(t,x) = \frac{1}{2} \Delta u(t,x) + b(t,x,u(t,x)) + \sigma(t,x,u(t,x)) \, \dot{W}(t,x) .\] Hierbei ist $\dot{W}$ ein zentriertes Gaußsches Rauschen, welches weiß in der Zeit ist und farbig im Raum mit einem Korrelationskern $k(x,y) \leq const ( |x-y|^{- \alpha } +1)$ für $x,y \in \mathbb{R}^q$ und $\alpha \in (0, 2 \wedge q)$: $E[\dot{W}(t,x)\dot{W}(s,y)] =\delta(s-t) k(x,y).$ Das Hauptresultat der Arbeit sagt, dass wenn der Koeffizient des Rauschens $\sigma$ Hölder-stetig von Ordnung $\gamma$ in der Lösung $u$ ist und es gilt, dass $\alpha < 2(2\gamma -1),$ dann hat die Gleichung eine pfadweise eindeutige Lösung. Diese Aussage wurde von Mytnik und Perkins 2011 vermutet. Zudem wird gezeigt, dass im Fall $q =1$ die sogenannte compact support property für nichtnegative Lösungen der stochastischen Wärmeleitungsgleichung mit $\sigma(t,x,u) = u^\gamma$ für alle $\alpha, \gamma \in (0,1)$ gilt.