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Pathwise Uniqueness of the Stochastic Heat Equation with Hölder continuous o diffusion coefficient and colored noise

dc.contributor.advisorSturm, Anja Prof. Dr.de
dc.contributor.authorRippl, Thomasde
dc.date.accessioned2013-01-20T13:30:26Zde
dc.date.available2013-01-30T23:50:10Zde
dc.date.issued2013-01-15de
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-000D-F0ED-Ade
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.53846/goediss-3362
dc.description.abstractWir betrachten die stochastische W\"armeleitungsgleichung in $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^q$ mit farbigem Rauschen. \[ \partial_t u(t,x) = \frac{1}{2} \Delta u(t,x) + b(t,x,u(t,x)) + \sigma(t,x,u(t,x)) \, \dot{W}(t,x) .\] Hierbei ist $\dot{W}$ ein zentriertes Gaußsches Rauschen, welches weiß in der Zeit ist und farbig im Raum mit einem Korrelationskern $k(x,y) \leq const ( |x-y|^{- \alpha } +1)$ für $x,y \in \mathbb{R}^q$ und $\alpha \in (0, 2 \wedge q)$: $E[\dot{W}(t,x)\dot{W}(s,y)] =\delta(s-t) k(x,y).$ Das Hauptresultat der Arbeit sagt, dass wenn der Koeffizient des Rauschens $\sigma$ Hölder-stetig von Ordnung $\gamma$ in der Lösung $u$ ist und es gilt, dass $\alpha < 2(2\gamma -1),$ dann hat die Gleichung eine pfadweise eindeutige Lösung. Diese Aussage wurde von Mytnik und Perkins 2011 vermutet. Zudem wird gezeigt, dass im Fall $q =1$ die sogenannte compact support property für nichtnegative Lösungen der stochastischen Wärmeleitungsgleichung mit $\sigma(t,x,u) = u^\gamma$ für alle $\alpha, \gamma \in (0,1)$ gilt.de
dc.format.mimetypeapplication/pdfde
dc.language.isoengde
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de
dc.titlePathwise Uniqueness of the Stochastic Heat Equation with Hölder continuous o diffusion coefficient and colored noisede
dc.typedoctoralThesisde
dc.title.translatedPfadweise Eindeutigkeit der stochastischen Wärmeleitungsgleichung mit Hölder-stetigem Diffusionskoeffizienten und farbigem Rauschende
dc.contributor.refereeSturm, Anja Prof. Dr.de
dc.date.examination2012-10-29de
dc.subject.dnb510 Mathematikde
dc.subject.gokResearch exposition {Probability theory and stochastic processes} (PPN617605866)de
dc.description.abstractengWe consider the stochastic heat equation in $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^q$ with multiplicative noise: \[ \partial_t u(t,x) = \frac{1}{2} \Delta u(t,x) + b(t,x,u(t,x)) + \sigma(t,x,u(t,x)) \, \dot{W}(t,x) .\] Here, $\dot{W}$ is a centered Gaussian noise which is white in time and colored in space with correlation kernel $k(x,y) \leq const ( |x-y|^{- \alpha } +1)$ for $x,y \in \mathbb{R}^q$ and $\alpha \in (0, 2 \wedge q)$: $E[\dot{W}(t,x)\dot{W}(s,y)] =\delta(s-t) k(x,y).$ Our main result states that if the noise coefficient $\sigma$ is H\"older-continuous of order $\gamma$ in the solution $u$ and satisfies $\alpha < 2(2\gamma -1),$ then the equation has a pathwise unique solution. This was conjectured by Mytnik and Perkins in 2011. Additionally, if $q =1$, we show that the compact support property holds for nonnegative solutions of the stochastic heat equation with $\sigma(t,x,u) = u^\gamma$ for all $\alpha, \gamma \in (0,1)$.de
dc.contributor.coRefereeWinter, Anita Prof. Dr.de
dc.contributor.thirdRefereeMytnik, Leonid Prof. Dr.de
dc.subject.topicMathematics and Computer Sciencede
dc.subject.gerWärmeleitungsgleichungde
dc.subject.gerfarbiges Rauschende
dc.subject.gerstochastische partielle Differentialgleichungde
dc.subject.gerpfadweise Eindeutigkeitde
dc.subject.engHeat equationde
dc.subject.engcolored noisede
dc.subject.engstochastic partial differential equationde
dc.subject.engpathwise uniquenessde
dc.subject.engcompact support propertyde
dc.subject.bk31.70de
dc.identifier.urnurn:nbn:de:gbv:7-webdoc-3881-3de
dc.identifier.purlwebdoc-3881de
dc.affiliation.instituteMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultätende
dc.identifier.ppn737345977de


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