Chaos and Chaos Control in Network Dynamical Systems
Chaos und dessen Kontrolle in Dynamik von Netzwerken
von Christian Bick
Datum der mündl. Prüfung:2012-11-29
Erschienen:2013-01-16
Betreuer:Prof. Dr. Marc Timme
Gutachter:Prof. Dr. Marc Timme
Gutachter:Prof. Dr. Laurent Bartholdi
Dateien
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Format:PDF
Description:Dissertation
Zusammenfassung
Englisch
Even fully deterministic dynamics may be chaotic, i.e., essentially unpredictable as time evolves. The first part of this thesis concerns the emergence of chaos in dynamical systems with symmetry, in particular certain networks of phase oscillators which are used to model some oscillatory physical systems. Although the presence of symmetry places strong constraints on the dynamics, we show that chaotic dynamics can in fact appear in symmetric systems of phase oscillators. Moreover, we study the dynamical mechanisms that give rise to chaotic dynamics. Even though chaotic dynamics implies unpredictability, so-called chaos control exploits features of chaotic motion; its aim is the stabilization of unstable periodic orbits. The focus of the second part of this thesis is on Predictive Feedback Control as a chaos control method, in particular with respect to convergence speed. First, we show that optimal asymptotic convergence speed of Predictive Feedback Control may be improved through an adaptive algorithm. It turns out that Predictive Feedback Control is not suitable for stabilizing highly unstable periodic orbits. Thus, we consequently develop and study an extension of Predictive Feedback Control which is obtained by stalling the application of the control signal. We show that the new method improves performance with respect to asymptotic convergence speed while maintaining most of the advantages in implementation of Predictive Feedback Control. The speedup persists in the full nonlinear system as confirmed by numerical simulations with and without adaptation.
Keywords: Dynamical Systems; Chaos; Phase Oscillators; Symmetry; Equivariance; Iteration; Periodic Orbit; Chaos Control; Convergence Speed; Adaptation
Weitere Sprachen
Dynamische Systeme deren Evolution deterministisch verläuft können chaotisch, also praktisch unvorhersehbar sein. Der erste Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Chaos in dynamischen Systemen mit Symmetrie, speziell mit Systemen von Phasenoszillatoren wie sie in der Physik vorkommen. Trotz der symmetriebedingten strukturellen Einschränkungen können solche Systeme von symmetrischen Phasenoszillatoren eine chaotische Dynamik haben. Eine Analyse zeigt, dass diese komplizierte Dynamik durch das Zusammenspiel von verschiedenen dynamischen Mechanismen entsteht. Auch wenn die Dynamik praktisch unverhersagbar ist, lassen sich mit der Chaoskontrolle Aspekte der chaotischen Dynamik für Anwendungen nutzen; sie zielt auf das Stabilisieren von instabilen periodischen Orbits. Der zweite Teil dieser Arbeit beschäftigt sich mit Predictive Feedback Control als Chaoskontrollmethode, speziell mit Hinsicht auf Konvergenzgeschwindigkeit. Mit einem geeigneten Adaptationsverfahren kann man die optimale Konvergenzgeschwindigkeit verbessern. Gleichzeitig ist aber Predictive Feedback Control eher ungeeignet um stark instabile Orbits zu stabilisieren. Eine Erweiterung von Predictive Feedback Control, die die Anwendung des Kontrollsignals verzögert, zeigt bessere Resultate. Die neue Methode hat eine verbesserte asymptotische Konvergenzgeschwindigkeit, auch bei sehr instabilen periodischen Orbits, ohne dass sie wesentlich schwieriger zu implementieren ist als reguläres Predictive Feedback Control. Diese Verbesserungen übertragen sich auf das volle nichtlineare System wie numerische Simulationen mit und ohne Adaption zeigen.
Schlagwörter: Dynamische Systeme; Chaos; Phasenoszillator; Symmetrie; Equivarianz; Iteration; Periodischer Orbit; Chaoskontrolle; Konvergenzgeschwindigkeit; Adaption