Numerical study of an evolutionary algorithm for electrical impedance tomography

Abstract

Wir untersuchen das inverse elektrische Impedanzproblem ohne gegebene Vorab-Informationen. Dabei geht es darum, aus Strom- und Spannungsmessungen am Rande eines leitenden Objektes die Leitfähigkeit innerhalb des Objektes zu rekonstruieren. In unserem Fall modellieren wir die Leitf¨ahigkeiten als stückweise konstant, d.h. wir definieren geschlossene Kurven innerhalb des zu untersuchenden Objektes, die sich nicht überschneiden dürfen, und nehmen an, dass die Leitfähigkeit zwischen diesen Kurven jeweils konstant ist. Für die Eingangsdaten betrachten wir sowohl das kontinuierliche Modell als auch das Complete Electrode Model. Bei ersterem nehmen wir an, dass die vollständigen Cauchy-Randdaten gegeben sind, und bei letzterem gehen wir von diskreten Werten für Strom und Spannung aus.

Wir lösen dieses Problem über eine Randintegralgleichungsmethode. Diese basiert auf einem System nichtlinearer Integralgleichungen, die mit Hilfe der Greenschen Formel hergeleitet werden. Durch Linearisierung und iterative Lösung dieses Systems erhält man die Werte der unbekannten inneren Kurven und Leitfähigkeiten. Die Methode stellt eine Erweiterung einer Idee von Kress und Rundell [39] für den Fall einer perfekt leitenden Inklusion dar.

Die dynamische Anpassung der Regularisierungsparameter, die bei dieser Methode vorkommen, geschieht durch einen Evolutionären Algorithmus. Dieser wird weiterhin dazu verwendet, eine Startlösung für die Randintegralgleichungsmethode zu bestimmen. Dazu koppelt er die Methode im kontinuierlichen Fall mit der Faktorisierungsmethode [9] und für das Complete Electrode Model mit einer Newton-artigen Finite Elemente Methode [51]. Die Randintegralgleichungsmethode und der Evolutionäre Algorithmus werden ausführlich beschrieben und anhand zahlreicher Beispiele getestet.

Am Ende wenden wir den Algorithmus auch noch auf reale Daten an. Dafür mussten gewisse zusätzliche Modifikationen des Algorithmus vorgenommen werden. Diese Modifikationen werden erläutert, und am Schluss werden zwei Beispiele für reale Daten präsentiert.