Integral Equation Methods for Rough Surface Scattering Problems in three Dimensions

Abstract

Wir behandeln die Streuung zeitharmonischer akustischer Wellen an einer schallweichen rauhen Oberfläche in drei Dimensionen. Unsere Untersuchungen sind gültig für den Fall, dass die einfallende Welle von einer Punktquelle oberhalb der Streuoberfläche herrührt. Sie sind jedoch nicht auf den Fall einer einfallenden ebenen Welle anwendbar. Der erste Teil der Arbeit behandelt die Existenz und Eindeutigkeit des Streuproblems. Das gestreute Feld wird in Form eines modifizierten Brakhage-Werner-Ansatzes gesucht. Dieses führt zu einer Randintegralgleichung zweiter Art in dem Raum der komplexwertigen quadratintegrierbaren Funktion auf der Streuoberfläche. Im Gegensatz zu dem Fall eines beschränkten Streuobjektes sind die auftretenden Integraloperatoren nicht kompakt, so dass die Riesz-Fredholm-Theorie nicht angewandt werden kann. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit der numerischen Lösung der Integralgleichung. Um den unendlichen Integrationsbereich zu handhaben, wird die Integralgleichungen in einem ersten Approximationsschritt auf einen endlichen Bereich der reellen Ebene reduziert. Wir führen hierzu ein neues Abschneideverfahren, genannt multi-section method, ein, für welches wir Konvergenz zeigen können.In einem zweiten Schritt können nun Standard-Diskretisierungsverfahren für Integralgleichungen auf endlichen Gebieten angewandt werden. Die Diskretisierung der reduzierten Gleichung liefert große dicht besetzte lineare Gleichungssysteme, welche mittels iterativer Methoden gelöst werden müssen. Es ist daher erforderlich, schnelle Matrix-Vektor-Multiplikationsmethoden zu entwickeln. Wir stellen einen alternativen Zugang zu der canonical grid method vor, welcher auf Approximationen der Dirac"schen Delta-Distribution hoher Ordnung basiert. Diese neue Interpretation erlaubt eine recht einfache Implementierung. Darüber hinaus erreicht unser Algorithmus einen Geschwindigkeitsvorteil. Für den Fall des Einfachschichtpotentialoperators belegen wir die Anwendbarkeit dieser Methode durch numerische Beispiele.