Some Aspects on Coarse Homotopy Theory

Abstract

Die wichtigsten Beispiele von groben Räumen ergeben sich aus der proper Metriken auf Räume oder aus metrisierbaren Kompaktifizierungen. In beiden Fällen sind die beschränkten Teilmengen genau die relativ Kompakten. Andererseits wird eine der charakteristischen Eigenschaften, die von groben Abbildungen verlangt wird, durch die beschränkten Teilmengen formuliert. Motiviert von den oben genannten zwei Tatsachen und um in der Lage Stande zu sein, den Begriff ,,lokal proper´´ zu entwickeln, der von Viet-Trung Luu für diskrete Räume eingeführt worden ist, führen wir einen neuen Begriff der Verträglichkeit zwischen der groben Struktur und der Topologie ein, wenn ein grober Raum auch eine Topologie trägt. Die Idee hierzu ist, den lokalen Teil der Theorie durch die Topologie von Räumen bestimmen zu lassen. Nachdem wir dies erreicht haben, sind wir in der Lage, einige grundlegende Begriffe wie Pullback und Pushforward grober Strukturen, und Produkte und Koprodukte von groben Räumen einzuführen, die auch eine Topologie mit der erforderlichen Verträglichkeit zwischen der Topologie und der groben Struktur tragen.

Wir verwenden den Begriff der Basispunkt -Projektion, der von Paul Mitchener und Thomas Schick eingeführt worden ist, um einen Begriff von punktierten groben Räumen zu entwickeln, der uns zu einem neuen Begriff des Kollaps von einer groben Perspektive führt. Das ermöglicht uns, einige wesentliche Begriffe wie grobe Quotientenräume und grobe Räume, die durch groben Kollaps oder durch die grobe Anklebung über eine grobe Abbildung erhalten worden sind, einzuführen.

Wir führen einen neuen Begriff ein, der in gewisser Weise das Analoge für grobe Geometrie von lokal Kompaktheit für Topologie ist und untersuchen einige der Eigenschaften.

Dann entwickeln wir Grundbegriffe in der groben Homotopietheorie. Darunter auch einige Konstruktionen wie grobes Smash-Produkt, grobe Einhängungen und grober Abbildungskegel, die erforderlich sind, um grobe Homotopietheorie zu entwickeln. Wirbeweisen denn einige ihrer Eigenschaften. Die groben Homotopiegruppen werden als nächstes eingeführt und dann entwickeln wir eine exakte Sequenz von groben Homotopiegruppen.

Wir geben auch eine umfassendere Darstellung auf den groben CW-Komplexen, die weit genug ist, um eine geeignete Grundlage zu schaffen, um mehr der Werkzeuge der algebraischen Topologie in die grobe Geometrie übertragen zu können. Nachdem wir das festgestellt haben, beweisen wir eine grobe Version des Satzes von J.H.C. Whitehead, die gewisse Aspekte der groben Homotopieklassifizierung ermöglicht.

Dann machen wir einen großen Schritt vorwärts und berechnen die groben Homotopiegruppen der groben Sphären. Genauer gesagt, beweisen wir $ \pi ^ {crs} _k (S^n _ {\preal}) \cong \pi_k (S^n) $ für alle $k \leq n$. Das hat einige interessante Anwendungen. Es ermöglicht uns, nämlich, einige wichtige Sätze bezüglich der groben Homotopiegruppen der groben CW-Komplexe aus der algebraischen Topologie zu übertragen, wenn sie $-\preal$ - Räume sind. Als ein Ergebnis dieser Sätze führen wir die groben Eilenberg-Maclane Räume ein.