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Discrete and Profinite Groups Acting on Regular Rooted Trees

Diskrete und pro-endliche Gruppen, die auf regulären Bäumen mit einem Fixpunkt operieren

von Olivier Siegenthaler
Dissertation
Datum der mündl. Prüfung:2009-09-28
Erschienen:2010-01-14
Betreuer:Prof. Dr. Laurent Bartholdi
Gutachter:Prof. Dr. Thomas Schick
crossref-logoZum Verlinken/Zitieren: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-3487

 

 

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Name:siegenthaler.pdf
Size:1.17Mb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Zusammenfassung

Englisch

We develop a new method to investigate groups acting on rooted trees. Considering the set of continuous functions from the automorphism group $\operatorname{Aut}X^*$ of a regular rooted tree to a finite field, we associate to each subgroup $G\leq\operatorname{Aut}X^*$ the ideal of functions which vanish on $G$. Our approach yields many new results for discrete groups as well as for closed subgroups of $\operatorname{Aut}X^*$ and some specific subgroups thereof. We exemplify the fruitfulness of this simple idea in many ways, including central series, automorphism towers, Hausdorff dimension, congruence problems, and a functorial construction of Lie algebras via affine group schemes.
Keywords: groups acting on trees; self-similar groups; wreath products; profinite groups; affine group schemes; central series; automorphism towers; Hausdorff dimension; Grigorchuk group; congruence problems

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Wir entwickeln eine neue Methode um Gruppen zu untersuchen, die auf regulären Bäumen mit einem Fixpunkt operieren. Hierzu betrachten wir die Menge aller stetigen Funktionen von der Automorphismengruppe $\operatorname{Aut}X^*$ eines regulären Baumes in einen endlichen Körper, und ordnen jeder Untergruppe $G\leq\operatorname{Aut}X^*$ das Ideal der Funktionen zu, die auf $G$ verschwinden. Unser Ansatz liefert viele neue Ergebnisse sowohl für diskrete Gruppen, als auch für abgeschlossene Untergruppen von $\operatorname{Aut}X^*$ und einige derer Untergruppen. Wir zeigen die erfolgreiche Anwendung dieses Ansatzes in vielen Bereichen, z.B. in der Berechnung von Zentralreihen, Automorphismentürmen und Hausdorff Dimensionen, ihre Anwendung bei Kongruenzproblemen sowie für eine funktoriale Konstruktion von Lie Algebren durch Gruppenschemata.
Schlagwörter: Gruppen; die auf Bäumen operieren; selbstähnliche Gruppen; Kranzprodukte; pro-endliche Gruppen; affine Gruppenschemata; Zentralreihen; Automorphismentürme; Hausdorff Dimension; Grigorchuk Gruppe; Kongruenzprobleme
 

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