Discrete and Profinite Groups Acting on Regular Rooted Trees

Abstract

Wir entwickeln eine neue Methode um Gruppen zu untersuchen, die auf regulären Bäumen mit einem Fixpunkt operieren. Hierzu betrachten wir die Menge aller stetigen Funktionen von der Automorphismengruppe $\operatorname{Aut}X^*$ eines regulären Baumes in einen endlichen Körper, und ordnen jeder Untergruppe $G\leq\operatorname{Aut}X^*$ das Ideal der Funktionen zu, die auf $G$ verschwinden. Unser Ansatz liefert viele neue Ergebnisse sowohl für diskrete Gruppen, als auch für abgeschlossene Untergruppen von $\operatorname{Aut}X^*$ und einige derer Untergruppen. Wir zeigen die erfolgreiche Anwendung dieses Ansatzes in vielen Bereichen, z.B. in der Berechnung von Zentralreihen, Automorphismentürmen und Hausdorff Dimensionen, ihre Anwendung bei Kongruenzproblemen sowie für eine funktoriale Konstruktion von Lie Algebren durch Gruppenschemata.