Nonparametric Methods in Spot Volatility Estimation

Abstract

Wir untersuchen ein Modell, bei dem ein stochastischer Prozess X unter additivem Messfehler beobachtet wird. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht darin ein Fluktuationsmaß (die Volatilität/Intermittenz) des nicht direkt beobachtbaren Prozesses X, gegeben die verrauschten Daten, zu schätzen. Wir studieren dieses Problem für die zwei wichtigen Fälle wenn X ein Gaußscher Volterra-Prozess oder ein stetiges Itô Semimartingal ist und bezeichnen dies entsprechend als Gaußsches Volterra- bzw. Semimartingal-Problem. Diese Modelle finden Anwendung in der Turbulenzmodellierung und der Finanzwirtschaft. Das Gaußsche Volterra-Problem wird hier erstmals betrachtet und wir zeigen, dass die Rekonstruktion der Spot-Volatilität mittels einer Spektralzerlegung der Kovarianz in Verbindung mit Fourierreihenschätzmethoden erzielt werden kann. Für das Semimartingal-Problem beweisen wir, dass Wavelet-Thresholding nach Anwendung der pre-averaging Technik in einem ersten Schritt, zu einem adaptiven Schätzer für die Spot-Volatilität führt. In beiden Modellen konvergieren die Schätzer mit den optimalen Raten (bis auf logarithmische Terme) unter schwachen Bedingungen an das Rauschen. Unser Ergebnis ist, dass Mikrostrukturrauschen die Konvergenzraten halbiert. Wir veranschaulichen die Schätzer durch numerische Simulationen und Anwendung auf log-returns für hochfrequente Finanzzeitreihen.