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Zeit- und Volatilitätsstruktur von Zinssätzen - Modellierung, Implementierung, Kalibrierung

Term and Volatility Structure of Interest Rates - Modelling, Implementation, Calibration

by Lyudmil Zyapkov
Doctoral thesis
Date of Examination:2007-12-05
Date of issue:2007-12-07
Advisor:Prof. Dr. Wolfgang Benner
Referee:Prof. Dr. Wolfgang Benner
Referee:Prof. Dr. Olaf Korn
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-3616

 

 

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Name:zyapkov.pdf
Size:1.47Mb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract

English

The thesis traces the modelling developments of the term structure of interest rates from the beginnings in the early seventies of the last century up to the multifactorial cross-currency stochastic volatility Libor Market Models in modern times. We follow the general classification in traditional approaches, which emphasise the equilibrium model by Vasicek and the no arbitrage model by Hull/White (HW) as crucial cornerstones of interest rate modelling, and in modern market approaches, of which the most prominent examples include the Heath/Jarrow/Morton (HJM) framework and the Libor Market Model (LMM). In spite of deriving a general partial differential equation (PDE) for arbitrary payoffs, the thesis casts the traditional models in the mould of the martingale pricing theory and steers clear from the application of PDE techniques. Furthermore, an option pricing model based on a functional dependence of the volatility structure on the interest rate is developed. The equivalence between the HJM family and the HW is shown for a specific volatility function and it is argued that the modern approach defines no universal, self-contained modelling technique. The modern approach rather provides a more flexible vocabulary to describe the characteristics of an already existing traditional model. The second part of the thesis implements the LMM based on a deterministic volatility function and stages a full-blown calibration procedure under the aspect of perfect reproduction of the market observable Black volatilities and the implications for the neighbouring swaption markets. The results from the attempt at a simultaneous calibration to both caplets and swaptions at the same time indicate the possible lack of congruence between both markets. The concluding chapter of the thesis is concerned with stochastic volatility models. It proposes a cross-currency LMM based on a separate variance process for the exchange rate. The model is capable of controlling the skew (vanna risk) and the smile (volga risk) of the implied volatilty surface. In addition, suggestions are made how to extend the model in order to incorporate as much market information as possible.
Keywords: Term Structure of Interest Rates; Martingale Pricing Theory; Stochastic Volatility; Calibration; Valuation

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Die vorliegende Dissertation folgt der Entwicklung der Zinsstrukturmodellierung seit den Anfängen in den späten 70ern des vorigen Jahrhunderts bis hin zu den heutigen multifaktoriellen, währungsübergreifenden Libor-Marktmodellen mit stochastischer Volatilität. Der Aufbau der Arbeit orientiert sich an der vorgenommenen Klassifizie-rung in die Gattung der klassischen Zinsstrukturmodelle, die das Gleichgewichtsmodell von Vasicek und das arbitragefreie Modell von Hull/White als entscheidende Entwick-lungsstufen hervorhebt, und in die modernen Ansätze der marktkonformen Modellierungstechnik, deren namhafteste Beispiele der Heath/Jarrow/Morton-Modellrahmen (HJM) und das Libor-Marktmodell (LMM) sind. Ungeachtet der Herleitung einer allgemeinen partiellen Differentialgleichung für beliebige Payoff-Funktionen, die wesentlich für die Bewertung von Zinsderivaten ist, wer-den die klassischen Zinsstrukturerklärungsansätze unter Abstraktion von dieser Technik grundlegend umgestaltet, indem sie in die Gussform der Martingal-Preistheorie hineinmodelliert werden. In einem weitergehenden Schritt wird ein Optionspreismodell mit funktionaler Abhängigkeit der Volatilität vom Zinssatz entwickelt. Des Weiteren wird die Äquivalenz des HJM-Konstrukts und des Hull/White-Zinsmodells für eine spezifische Volatilitätsfunktion nachgewiesen und argumentiert, dass der moderne Ansatz keine universale, in sich geschlossene Konstruktion definiert, sondern lediglich ein flexibleres Parametrisierungsvokabular zur Charakterisierung der Merkmale eines aus der Vielfalt von Modellierungsmethoden ausgewählten, klassischen Zinsstrukturmodells darstellt. Im zweiten Teil der Arbeit wird das LMM mit deterministischer Volatilitätsstruktur implementiert und unter dem Aspekt der perfekten Reproduktion der marktbeobachtbaren Black-Volatilitäten und der Implikationen für den benachbarten Swaptionmarkt kalibriert. Aus dem Versuch, eine simultane Kalibrierung sowohl an Caplets als auch an Swaptions zu erzwingen, resultiert die Feststellung einer eventuellen Inkongruenz zwischen den beiden Märkten. Im abschließenden Teil der Dissertation wird auf die Entwicklung eines Cross Currency LMM mit stochastischer Volatilität hingewiesen, das durch seine Parametrisierung den Skew (das Vanna-Risiko) und den Smile (das Volga-Risiko) der impliziten Volatilitätsstrutur steuern kann.
Schlagwörter: Zinsstruktur; Martingalpreistheorie; stochastische Volatilität; Kalibrierung; Bewertung
 

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