L2-invariants of nonuniform lattices in semisimple Lie groups

by Holger Kammeyer
Doctoral thesis
Date of Examination:2013-04-17
Date of issue:2013-05-03
Advisor:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Ralf Meyer
Persistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-3826

 

 

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Abstract

English

We compute L²-invariants of certain nonuniform lattices in semisimple Lie groups by means of the Borel-Serre compactification of arithmetically defined locally symmetric spaces. The main results give new estimates for Novikov-Shubin numbers and vanishing L²-torsion for lattices in groups with even deficiency. We discuss applications to Gromov's Zero-in-the-Spectrum Conjecture as well as to a proportionality conjecture for the L²-torsion of measure equivalent groups. In the final part of the thesis, we explain an adaptation procedure for Chevalley bases of complex semisimple Lie algebras. For a given real form it yields a basis with (half)-integer structure constants that we express in terms of the root system with involution.
Keywords: L2-invariants; lattices; Lie groups; Borel-Serre compactification

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Wir berechnen L²-Invarianten bestimmter nichtuniformer Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen mithilfe der Borel-Serre-Kompaktifizierung arithmetisch definierter lokalsymmetrischer Räume. Als Hauptergebnisse erhalten wir neue Abschätzungen für Novikov-Shubin-Zahlen und das Verschwinden der L²-Torsion für Gitter in Gruppen mit geradem Fundamentalrang. Wir diskutieren Anwendungen auf Gromovs Null-im-Spektrum-Vermutung sowie auf eine Proportionalitätsvermutung für die L²-Torsion maßäquivalenter Gruppen. Im Schlussteil der Arbeit beschreiben wir einen Anpassungsvorgang für Chevalley-Basen komplexer halbeinfacher Lie-Algebren. Zu einer gegebenen Realform liefert dieser eine Basis mit halb- und ganzzahligen Strukturkonstanten, die wir durch das Wurzelsystem mit Involution ausdrücken.
 
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