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Microlocal Analysis of Tempered Distributions

by René M. Schulz
Doctoral thesis
Date of Examination:2014-09-12
Date of issue:2014-09-17
Advisor:Prof. Dr. Dorothea Bahns
Referee:Prof. Dr. Dorothea Bahns
Referee:Prof. Dr. Ingo Witt
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-4690

 

 

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Name:Thesis Rene Schulz.pdf
Size:2.92Mb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract

English

In this dissertation we study tempered distributions from the microlocal point of view. The fundamental notion of microlocal analysis, the wave front set, is replaced by two analogues, the SG-wave front set and the G-wave front set associated to the global pseudo-differential calculi with SG- and Shubin symbols respectively. Properties of these global wave front sets are collected and we establish various ways to characterize them, in particular in terms of the FBI-transform. We generalize constructions that involve the classical wave front set to the global setting, in particular operations on tempered distributions, such as pull-backs, (twisted) products and pairings, for which we give microlocal existence criteria. As an application, we introduce a class of tempered oscillatory integrals, parametrized by inhomogeneous phase functions and amplitudes from SG-symbol spaces. We study the SG-wave front set of such distributions, which turns out to be bounded by a generalization of the notion of stationary phase points. In this framework, we establish the notion of SG-Lagrangian, which generalizes the classical notion of conic Lagrangian submanifolds of Euclidean spaces. In particular, we study parametrization properties of these objects and it turns out that locally, each such SG-Lagrangian is realized as the stationary points of a SG-phase function. As further applications, we revisit certain constructions involving distributions from axiomatic quantum field theory and show how these may be realized in the tempered setting.
Keywords: Convolution; extensions of distributions; FBI transform; Gelfand-Shilov spaces; Lagrangian; microlocal analysis; oscillatory integral; product; Pseudo-differential operator; scaling degree; short-time Fourier transform; tempered distribution; time frequency analysis; two-point function; wave front set; Weyl product

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Diese Dissertation ist dem Studium temperierter Distributionen mittels mikrolokaler Methoden gewidmet. Die fundamentale Größe der mikrolokalen Analysis, die Wellenfrontmenge, wird durch zwei analoge Konzepte ersetzt, die den pseudo-differentiellen SG- und Shubin-Kalkülen zugeordnet sind. Die Eigenschaften dieser globalen Wellenfrontmengen werden studiert und ferner werden unterschiedliche Möglichkeiten, diese globalen Singularitäten zu charakterisieren, untersucht, insbesondere mittels der FBI-Transformation. Zahlreiche Konstruktionen, die den klassischen Wellenfrontmengenbegriff beinhalten, werden in den globalen Kontext übersetzt, insbesondere Rechenoperationen mit temperierten Distributionen wie etwa (getwistete) Produkte, Pull-backs und Paarungen, für die mikrolokale Existenzkriterien angegeben werden. Als eine Anwendung wird eine Klasse von temperierten Oszillatorintegralen eingeführt, welche durch inhomogene Phasenfunktionen und Amplituden aus SG-Symbolklassen parametrisiert werden. Die SG-Wellenfrontmengen dieser Distributionen werden untersucht und es stellt sich heraus, dass diese durch eine Verallgemeinerung der Menge stationärer Punkte der Phasenfunktionen beschränkt werden. In diesem Kontext wird eine Verallgemeinerung des klassischen Begriffs einer konischen Lagrange-Untermannifaltigkeit des T*R^d vorgenommen und diese Objekte werden auf ihre Parametrisierungseigenschaften untersucht. Es stellt sich heraus, dass jedes solche Objekt lokal als die Menge der stationären Punkte einer SG-Phasenfunktion realisiert werden kann. Als weitere Anwendung werden einige Konstruktionen der axiomatischen Quantenfeldtheorie, die Distributionen beinhalten, im temperierten Kontext realisiert.
 

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