Neue Herleitung und explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel
Derivation of the Riemann-Siegel formula with explicit estimates of its remainders
Wolfgang Gabcke
Doctoral thesis
Date of Examination:
1979-02-15
Date of issue:
2015-06-08
Advisor:
Deuring, Max Prof. Dr.
Referee:
Deuring, Max Prof. Dr.
Referee:
Burmann, Hans-Wilhelm Prof. Dr.
Persistent Address: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0022-6013-8
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DissGab1979.pdf
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Abstract
English
The asymptotic expansion of the function $Z(t)=e^{i\vartheta(t)}\zeta{(1/2+it)}$ for real $t\to+\infty$ where $\vartheta(t)=\Im\log{\Gamma{(1/4+it/2)}}-(t\log{\pi})/2$ – today known as Riemann–Siegel formula – is derived in a new and simpler way. Simplified computation formulas of its coefficients are given as well as explicit error estimates of its first 11 partial sums for $t \ge 200$. In an appendix the first 13 coefficients of the asymptotic series are presented in a form introduced by D. H. Lehmer in 1956. Power series and expansions in terms of Čebyšev Polynomials are given for the first 11 coefficients to 50 decimals.
Keywords: Riemann zeta-function; Riemann-Siegel formula; explicit estimates of the remainders; power series of the coefficients
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Die asymptotische Entwicklung der Funktion \(Z(t)=e^{i\vartheta(t)}\zeta{(1/2+it)}\) für reelle \(t\to+\infty\) (dabei ist \(\vartheta(t)=\Im\log{\Gamma{(1/4+it/2)}}-(t\log{\pi})/2\) und \(\zeta{(1/2+it)}\) die Riemannsche Zetafunktion auf der kritischen Geraden $\Re{(s)}=1/2$ – heute allgemein als Riemann–Siegel–Formel bezeichnet – wird auf neue Weise mit Hilfe der Sattelpunktmethode aus der sogenannten Riemann–Siegel"–Integralformel hergeleitet. Die Formeln zur Berechnung der in der asymptotischen Reihe auftretenden Koeffizienten werden vereinfacht und für \(t \ge 200\) explizite Fehlerabschätzungen für die ersten 11 Partialsummen dieser Reihe angegeben. Der tabellarische Anhang enthält u. a. die exakte Darstellung der ersten 13 Koeffizienten der asymptotischen Reihe in der auf D. H. Lehmer zurückgehenden Form sowie die Potenzreihenentwicklungen und die Entwicklungen nach Tschebyscheffschen Polynomen 1. Art der ersten 11 Koeffizienten mit einer Genauigkeit von 50 Dezimalstellen.
Schlagwörter: Riemannsche Zetafunktion; Riemann-Siegel-Formel; explizite Restabschätzung; Potenzreihen der Koeffizienten
