Scattering Resonances for Polyhedral Obstacles

von Martin Lippl
Dissertation
Datum der mündl. Prüfung:2016-08-30
Erschienen:2017-08-29
Betreuer:Prof. Dr. Ingo Witt
Gutachter:Prof. Dr. Ingo Witt
Gutachter:Prof. Dr. Dorothea Bahns
Zum Verlinken/Zitieren: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-6094

 

 

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Format:PDF
Description:Dissertation

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Zusammenfassung

Englisch

This thesis deals with the generalization of two dimensional obstacle scattering theory to polygonally bounded obstacles. Our main objective is to derive an upper bound for the counting function of the scattering poles. The counting function counts the number of scattering poles on the analytical continuation of the scattering matrix which, in even dimensions, lives on the Riemann surface of the logarithm. The starting points for our investigation are P.\ D.\ Lax and R.\ S.\ Phillips' formulation of scattering theory in an even number of spatial dimensions and R.\ Melrose's polynomial bound for the counting function in an odd number of spatial dimensions. We restrict ourselves to polygonally bounded obstacles with edges of $C^\infty$-type. The key ingredient is the application of Mellin pseudodifferential methods. In the course of this work, we analyse the mapping behaviour of the single and double layer potentials and their traces on the boundary, the Caler{\'o}n projectors. As a by-product, we derive modified jump conditions for the layer potentials.
Keywords: Scattering theory; Singular analysis; Obstacle scattering

Deutsch

Diese Dissertation beschäftigt sich mit der Verallgemeinerung der zweidimensionalen Streutheorie auf polygonal berandete Objekte. Ziel dieser Arbeit ist die Herleitung einer oberen Abschätzung für die sogenannte Zählfunktion. Diese Zählfunktion zählt die Anzahl der Streupole, die innerhalb eines Kreises mit dem Radius $r>0$ enthalten sind. Die Ausgangspunkte unserer Untersuchung sind die geradedimensionale Formulierung der Streutheorie nach P.\ D.\ Lax und R.\ D.\ Phillips und der Beweis einer oberen Abschätzung für die Zählfunktion von R.\ Melrose. Neu ist die Einführung des sogenannten Mellin-Kalküls aus der singulären Analysis. Dieses ersetzt den konventionellen Kalkül der pseudodifferentiellen Operatoren. Im Verlaufe der Arbeit untersuchen wir außerdem das Abbildungsverhalten der Einfach- und Doppelschichtpotentiale und Ihrer Spur auf dem Polygonalen Rand des Streuobjekts. Als ein Nebenprodukt leiten wir modifizierte Sprungrelationen her.
 
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