A Wasserstein-like Distance on Vector Fields

von Vincent Sommer
Dissertation
Datum der mündl. Prüfung:2023-02-14
Erschienen:2023-10-06
Betreuer:Prof. Dr. Max Wardetzky
Gutachter:Prof. Dr. Max Wardetzky
Gutachter:Prof. Dr. Thomas Schick
Gutachter:Prof. Dr. Bernhard Schmitzer
Gutachter:Prof. Dr. Axel Munk
Gutachter:Prof. Dr. Gerlind Plonka-Hoch
Gutachter:Prof. Dr. Christoph Lehrenfeld
Zum Verlinken/Zitieren: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-10125

 

 

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Zusammenfassung

Englisch

We introduce a new distance on the space of vector fields over a Riemannian manifold that is motivated by the construction and properties of the Wasserstein distance. The construction relies on a particular metric on the unit circle bundle which leads to a relation between the distance and parallelism of moving vector fields. Moreover, we investigate properties of this distance and related concepts like the curve energy, a dual formulation and a Benamou-Brenier formula. We also consider possible discretizations of the unit circle bundle that could be useful for numerical implementations of the distance. Furthermore, this work contains a piecewise linear discretization of the Wasserstein distance as was already done by Lavenant et al. but we give the construction with significantly more detail and add some original remarks to the theory.
Keywords: Wasserstein geometry; Riemannian geometry; Optimal transport; Discrete differential geometry; Piecewise-linear discretization

Deutsch

Wir führen eine neue Distanz auf dem Raum der Vektorfelder über einer Riemannschen Mannigfaltigkeit ein, welche inspiriert ist durch die Konstruktion und die Eigenschaften der Wassersteindistanz. Die Konstruktion basiert auf einer besonders gewählten Metrik auf dem Einheitskreisbündel, was zu einer Beziehung zwischen der Distanz und der Parallelität von sich bewegenden Vektorfeldern führt. Weiter untersuchen wir die Eigenschaften der Distanz und mit ihr verwandte Konzepte wie die Kurvenenergie, eine duale Formulierung und eine Benamou-Brenier-Formel. Dazu betrachten wir auch Diskretisierungen des Einheitskreisbündels, welche nützlich sein können für eine numerische Implementierung der Distanz. Außerdem behandelt die Arbeit eine stückweise lineare Diskretisierung der Wassersteindistanz wie sie Lavenant et al. bereits vorgenommen haben. Wir geben die Konstruktion allerdings deutlich detaillierter und fügen einige neue Bemerkungen zur Theorie hinzu.
 
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