On some special-purpose hidden Markov models

Abstract

Hidden Markov Modelle (HMMs) ermöglichen eine flexible Modellierung von Zeitreihen, bei denen die Beobachtungen von zugrunde liegenden seriell korrelierten Zuständen abhängen. Sie bilden eine Klasse von abhängigen Mischmodellen, welche sich in vielen Anwendungsbereichen als nützlich herausgestellt haben. Diese Arbeit macht sich die flexible mathematische Struktur von HMMs zu Nutze, um drei Erweiterungen von HMMs zu entwickeln. Diese HMMs unterscheiden sich von den Standardmodellen und dienen speziellen Zwecken. Der erste Hauptteil der Arbeit betrachtet HMMs, deren Matrix der Zustandsübergangswahrscheinlichkeiten derart strukturiert ist, dass beliebige Verteilungen für die Verweildauer in den einzelnen Zuständen angepasst werden können. Dabei bleibt die Markov-Eigenschaft des zugrunde liegenden Prozesses erhalten. Solche HMMs eignen sich zur Approximation von hidden semi-Markov Modellen (HSMMs), welche flexibler, aber auch komplizierter als HMMs sind. Sie vermeiden die Notwendigkeit von vereinfachenden Annahmen und ermöglichen insbesondere die Anpassung von stationären HSMMs. Mehrere Anwendungsbeispiele veranschaulichen die Praktikabilität der vorgeschlagenen Methode. Im zweiten Hauptteil der Arbeit wird gezeigt, dass allgemein formulierte Zustandsraummodelle (SSMs) beliebig exakt durch in geeigneter Weise definierte HMMs approximiert werden können. Ein entscheidender Vorteil der auf HMMs basierenden Approximationsmethode ist, dass sie einfach zu implementieren ist. Im Gegensatz zur Likelihoodfunktion von SSMs, welche durch ein mehrfaches, nicht direkt berechenbares Integral gegeben ist, ist jene der vorgeschlagenen Modelle einfach zu berechnen; dies ermöglicht ihre numerische Maximierung. Durch den relativ geringen Programmieraufwand wird das Experimentieren mit Variationen von SSMs praktikabel. Dies wird illustriert durch eine umfangreiche Analyse einiger neuer Variationen von stochastischen Volatilitätsmodellen, welche an Rendite-Zeitreihen angepasst werden. Mit Bezug zur jüngsten Finanzkrise wird gezeigt, dass eine moderate Anhebung der Flexibilität, insbesondere des Log-Volatilitätsprozesses, die Fähigkeit der Modelle, extremen Schwankungen der Rendite gerecht zu werden, zu verbessern scheint. Einige andere Anwendungsbeispiele veranschaulichen die Leichtigkeit mit der die Methode bei vielfältigen Typen von SSMs angewandt werden kann. Im letzten Teil der Arbeit werden während des Schlafs erfasste EEG-Signale mithilfe von HMMs modelliert. Die vorgeschlagene Methode wird auf mehrere EEG-Signale, welche zu genau aneinander angepasste Individuen mit bzw. ohne Schlafapnoe gehören, angewandt. Die Untersuchung bestätigt Ergebnisse von Arbeiten, die auf aufwändiger visueller Klassifizierung von Schlafzuständen basieren.