Rough Isometries of Order Lattices and Groups

Abstract

Wir führen zunächst einige grundlegende Konzepte der metrischen Geometrie und der Verbandstheorie ein. Wir kombinieren dann diese Konzepte, um Ordnungsverbände mit Metriken zu studieren, insbesondere in Hinblick auf die Herleitung von Rechenregeln und Ungleichungen mit Bezug auf die durch den Verband definierten Operationen, und in Zusammenhang mit dem Kalkül der Venn-Diagramme. Ein spezialisierter Abschnitt behandelt eine verallgemeinerte Version der Irreduzibilität in einem Verband, die von der gewählten Metrik abhängt, sowie ihren Zusammenhang mit der zugrundeliegenden Topologie.Das zweite Kapitel behandelt eine sehr spezielle Form von Verbänden mit Metrik, die Lipschitzfunktionsräume von metrischen Räumen von Funktionen mit beschränkter Lipschitz-Konstante. Wir beginnen mit einem einfachen Glättungssatz, welcher dann ausgebaut und in den Rahmen eines Verbandes mit Metrik eingegliedert wird, womit wir eine fähige Verbindung herstellen können zwischen den algebraisch-metrischen Eigenschaften des Funktionsraumes einerseits und seinem zugrundeliegenden metrischen Raum andererseits. Ein fortgeschrittenes, triangulations-artiges Argument liefert dann die Umkehrung des Glättungssatzes, welche die grobe Geometrie des metrischen Raums in Zusammenhang zu den algebraisch-grob-geometrischen Eigenschaften des Funktionsraumes bringt. Eine ausführliche Liste von Gegenbeispielen demonstriert die Besonderheit der von uns gewählten Metrik auf dem Funktionsraum, und im letzten Abschnitt betrachten wir eine Folgerung für Skalenlimites.Das dritte und letzte Kapitel erforscht den Nutzen von groben Isometrien und einer neuartigen Form uniformer ("gemeinsamer") Quasi-Isometrien für das Verständnis der algebraischen Natur diskreter Gruppen. Während es für bestimmte Klassen von Gruppen bekannt ist, dass Quasi-Isometrie und Kommensurabilität äquivalente Konzepte sind, gibt es Beispiele, in denen sie es nicht sind. Wir zeigen, wie man explizit algebraische Eigenschaften Ähnlich der Kommensurabilität aus geometrischen Eigenschaften herleiten kann mittels kombinatorischer Argumente für Gruppen mit ausgeprägt nicht-speziellen Erzeugendensystemen.