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dc.contributor.advisor Wardetzky, Max Prof. Dr. de
dc.contributor.author Bauer, Ulrich de
dc.date.accessioned 2011-07-15T15:27:36Z de
dc.date.accessioned 2013-01-18T13:23:04Z de
dc.date.available 2013-01-30T23:50:55Z de
dc.date.issued 2011-07-15 de
dc.identifier.uri http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0006-B3E6-C de
dc.description.abstract Das Ziel dieser Arbeit ist die Zusammenführung zweier Theorien bezüglich der kritischen Punkte einer reellwertigen Funktion und deren Verbindung zur Topologie: diskrete Morse-Theorie und persistente Homologie. Während die Ziele und grundlegenden Techniken sich unterscheiden, gibt es gewisse Ähnlichkeiten zwischen beiden Theorien. In bestimmten Fällen lassen sich die beiden Stränge zusammenführen und neue Einsichten erzielen, die über die jeweiligen einzelnen Theorien hinausgehen.Die diskrete Morse-Theorie liefert kombinatorische Versionen verschiedener Grundbegriffe der klassischen Morse-Theorie, wie diskrete Morse-Funktionen, diskrete Gradientenfelder, kritische Punkte, sowie einen Satz über die Auslöschung kritischer Punkte eines Vektorfelds. Aufgrund ihrer Einfachheit erhält sie nicht nur die Intuition der klassischen Theorie, sondern geht in einem gewissen Sinne darüber hinaus, indem sie explizite und kanonische Konstruktionen erlaubt, die in der glatten Theorie wesentlich schwieriger umzusetzen wären.Persistente Homologie quantifiziert topologische Merkmale einer Funktion. Sie bestimmt das Entstehen und Verschwinden von Homologieklassen an kritischen Punkten, identifiziert Paare kritischer Punkte (Persistenzpaare) und liefert einen quantitativen Begriff von deren Stabilität (Persistenz).Die (diskrete) Morse-Theorie trifft Aussagen über den Homotopietyp der Subniveaumengen einer Funktion, wohingegen Persistenz deren Homologie betrachtet. Während Homologie eine Invariante unter Homotopieäquivalenz ist, trifft die Umkehrung nicht zu: nicht jede Abbildung, die einen Isomorphismus der Homologie induziert, ist auch eine Homotopieäquivalenz. In dieser Arbeit wird eine Verbindung zwischen beiden Theorien geschaffen, die dazu verwendet wird, Probleme zu lösen, die von jeder einzelnen der beiden Theorien nicht direkt zu erreichen sind. Insbesondere wird das Problem gelöst, innerhalb einer bestimmten Toleranz zu einer gegebenen Eingabefunktion auf einer Fläche die Anzahl kritischer Punkte zu minimieren. de
dc.format.mimetype application/pdf de
dc.language.iso eng de
dc.rights.uri http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/ de
dc.title Persistence in discrete Morse theory de
dc.type doctoralThesis de
dc.title.translated Persistenz in der diskreten Morse-Theorie de
dc.contributor.referee Wardetzky, Max Prof. Dr. de
dc.date.examination 2011-05-12 de
dc.subject.dnb 510 Mathematik de
dc.description.abstracteng The goal of this thesis is to bring together two different theories about critical points of a scalar function and their relation to topology: Discrete Morse theory and Persistent homology. While the goals and fundamental techniques are different, there are certain themes appearing in both theories that closely resemble each other. In certain cases, the two threads can be joined, leading to new insights beyond the classical realm of one particular theory.Discrete Morse theory provides combinatorial equivalents of several core concepts of classical Morse theory, such as discrete Morse functions, discrete gradient vector fields, critical points, and a cancelation theorem for the elimination of critical points of a vector field. Because of its simplicity, it not only maintains the intuition of the classical theory but allows to surpass it in a certain sense by providing explicit and canonical constructions that would become quite complicated in the smooth setting.Persistent homology quantifies topological features of a function. It defines the birth and death of homology classes at critical points, identifies pairs of these (persistence pairs), and provides a quantitative notion of their stability (persistence).Whereas (discrete) Morse theory makes statements about the homotopy type of the sublevel sets of a function, persistence is concerned with their homology. While homology is an invariant of homotopy equivalences, the converse is not true: not every map inducing an isomorphism in homology is a homotopy equivalence. In this thesis we establish a connection between both theories and use this combination to solve problems that are not easily accessibly by any single theory alone. In particular, we solve the problem of minimizing the number of critical points of a function on a surface within a certain tolerance from a given input function. de
dc.contributor.coReferee Schaback, Robert Prof. Dr. de
dc.contributor.thirdReferee Edelsbrunner, Herbert Prof. Dr. de
dc.subject.topic Mathematics and Computer Science de
dc.subject.ger Diskrete Morse-Theorie de
dc.subject.ger persistente Homologie de
dc.subject.ger topologisches Entrauschen de
dc.subject.eng Discrete Morse theory de
dc.subject.eng persistent homology de
dc.subject.eng topological denoising de
dc.subject.bk 31.65 de
dc.identifier.urn urn:nbn:de:gbv:7-webdoc-3054-9 de
dc.identifier.purl webdoc-3054 de
dc.affiliation.institute Fakultät für Mathematik und Informatik de
dc.subject.gokfull EFIK 050: Critical points of functions and mappings {Theory of singularities and catastrophe theory} de
dc.subject.gokfull EFHQ 100: Simple homotopy type de
dc.subject.gokfull Whitehead torsion de
dc.subject.gokfull Reidemeister-Franz torsion de
dc.subject.gokfull etc. {PL-topology} de
dc.subject.gokfull EFHR 700: Critical points and critical submanifolds {Differential topology} de
dc.identifier.ppn 668386517 de

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