Limit theorems for statistical functionals with applications to dimension estimation

Grenzwertsätze für statistische Funktionale mit Anwendungen auf Dimensionsschätzungen

by Aleksey Min
Doctoral thesis
Date of Examination:2004-06-23
Date of issue:2004-08-09
Advisor:Prof. Dr. Manfred Denker
Referee:Prof. Dr. Manfred Denker
Referee:Prof. Dr. Susanne Koch
Persistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2457

 

 

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Description:Dissertation

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Abstract

English

This thesis deals with two different types of limit theorems: classical limit theorems and almost sure limit theorems (ASLT).We prove classical limit theorems for a special statistical functional arising in dimension estimation. These results allow to construct a new estimation procedure for the information dimension of probability measures. This method is relatively simpler than other existing methods and its applicability is illustrated with two numerical simulations.We refine Berkes and Csaki's ASLT for U-statistics of independent identically distributed random variables. Their result for non-degenerate U-statistics is also extended to the case of convergence to stable laws. Furthermore we prove almost sure central limit theorems for non-degenerate U-statistics of stationary weakly dependent random variables.
Keywords: central limit theorem; almost sure limit theorem; correlation dimension; information dimension; U-statistics

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Diese Dissertation beschäftigt sich mit zwei Arten von Grenzwertsätzen: klassische Grenzwertsätze und fast sichere Grenzwertsätze (FSGWS).Wir beweisen klassische Grenzwertsätze für ein spezielles statistisches Funktional, welches bei Dimensionsschätzungen auftritt. Diese Resultate erlauben die Konstruktion eines neuen Schätzverfahrens für die Informationsdimension von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Dieses Verfahren ist einfacher im Vergleich zu existierenden Methoden und seine Anwendbarkeit wird an zwei numerischen Simulationsbeispielen gezeigt.Wir verbessern den FSGWS von Berkes and Csaki für U-Statistiken basierend auf unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen. Ihr Resultat für nichtdegenerierte U-Statistiken wurde ebenfalls auf den Fall der Konvergenz gegen stabile Verteilungen erweitert. Außerdem beweisen wir fast sichere zentrale Grenzwertsätze für nichtdegenerierte U-Statistiken basierend auf stationären schwach abhängigen Zufallsvariablen.
Schlagwörter: zentraler Grenzwertsatz; fast sicher Grenzwertsatz; Korrelationsdimension; Informationsdimension; U-Statistiken; 510 Mathematik
 
Statistik