Über Zusammenhänge von leichten Tails, regulärer Variation und Extremwerttheorie
On Some Connections between Light Tails, Regular Variation and Extremes
by Anja Janßen
Date of Examination:2010-11-03
Date of issue:2010-11-30
Advisor:Prof. Dr. Martin Schlather
Referee:Prof. Dr. Martin Schlather
Referee:PD Dr. Ulf-Rainer Fiebig
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Format:PDF
Description:Dissertation
Abstract
English
This work deals with some aspects of the extremal behavior of both light tailed and heavy tailed distributions. The thesis is divided into three parts and starts with the analysis of limit laws for $l_p$-norms of positive i.i.d. random vectors which establish a connection between limit laws for sums of i.i.d.\ random variables and extreme value theory. Here, a new approach allows us to unify the analysis for all three max-domains of attraction, where special emphasis is laid on the Gumbel case. The second part of the thesis deals with the extremal behavior of certain time series which bear resemblance to so-called ``random difference equations'' (RDEs). We analyse the behavior of an underlying and an observable time series, given an extreme event in the observable one, by extending results for a single time series to the case of two connected time series. In the third part of the thesis we take a closer look at the heavy tailed behavior of RDEs. In order to derive ! the characteristic $\kappa$, the index of regular variation, we propose a new method based on the results of Kesten (1973).
Keywords: Exteme value theory; Limit theorems; Time series; Random difference equations; Multivariate regular variation; GARCH processes
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In dieser Arbeit werden verschiedene Aspekte des
Extremwertverhaltens von Verteilungen mit leichten und
mit schweren Teils untersucht. Die Arbeit gliedert sich
in drei Teile. Im ersten Teil werden Zusammenhänge
zwischen Grenzwertsätzen für Summen und für Maxima von
u.i.v. verteilten Zufallsvariablen hergestellt, indem
Grenzwertsätze für $l_p$-Normen von positiven u.i.v.
Zufallsvektoren untersucht werden. Ein neuer Ansatz
ermöglicht es dabei, die Analyse für die
unterschiedlichen Max-Anziehungsbereiche zu
vereinheitlichen, wobei besonderes Interesse dem
Gumbel-Fall gilt. Der zweite Teil der Arbeit
beschäftigt sich mit dem Extremwertverhalten einer
bestimmten Form von Zeitreihen, die eine asymptotische
Ähnlichkeit zu sogenannten ``Random Difference
Equations'' (RDEs) aufweisen. Wir erweitern ein
Resultat, welches eine einfache Darstellung des
Prozessverhaltens bedingt auf ein extremes Ereignis zum
Zeitpunkt Null erlaubt, für eine einzelne Zeitreihe auf
zwe! i zusammenhängende Zeitreihen und zeigen
Anwendungsmöglichkeiten. Im dritten Teil der Arbeit
wird das Extremalverhalten von RDEs in Bezug auf die
Charakteristik $\kappa$, dem Index der regulären
Variation, untersucht. Es wird eine neue Methode für
die Bestimmung dieser Größe vorgeschlagen, die auf den
Ergebnissen von Kesten (1973) beruht.
Schlagwörter: Extremwerttheorie; Grenzwertsätze; Zeitreihen; Random Difference Equations; Multivariate Reguläre Variation; GARCH-Prozesse