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Über Zusammenhänge von leichten Tails, regulärer Variation und Extremwerttheorie

On Some Connections between Light Tails, Regular Variation and Extremes

by Anja Janßen
Doctoral thesis
Date of Examination:2010-11-03
Date of issue:2010-11-30
Advisor:Prof. Dr. Martin Schlather
Referee:Prof. Dr. Martin Schlather
Referee:PD Dr. Ulf-Rainer Fiebig
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2476

 

 

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Name:janssen_anja.pdf
Size:690.Kb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Abstract

English

This work deals with some aspects of the extremal behavior of both light tailed and heavy tailed distributions. The thesis is divided into three parts and starts with the analysis of limit laws for $l_p$-norms of positive i.i.d. random vectors which establish a connection between limit laws for sums of i.i.d.\ random variables and extreme value theory. Here, a new approach allows us to unify the analysis for all three max-domains of attraction, where special emphasis is laid on the Gumbel case. The second part of the thesis deals with the extremal behavior of certain time series which bear resemblance to so-called ``random difference equations'' (RDEs). We analyse the behavior of an underlying and an observable time series, given an extreme event in the observable one, by extending results for a single time series to the case of two connected time series. In the third part of the thesis we take a closer look at the heavy tailed behavior of RDEs. In order to derive ! the characteristic $\kappa$, the index of regular variation, we propose a new method based on the results of Kesten (1973).
Keywords: Exteme value theory; Limit theorems; Time series; Random difference equations; Multivariate regular variation; GARCH processes

Other Languages

In dieser Arbeit werden verschiedene Aspekte des Extremwertverhaltens von Verteilungen mit leichten und mit schweren Teils untersucht. Die Arbeit gliedert sich in drei Teile. Im ersten Teil werden Zusammenhänge zwischen Grenzwertsätzen für Summen und für Maxima von u.i.v. verteilten Zufallsvariablen hergestellt, indem Grenzwertsätze für $l_p$-Normen von positiven u.i.v. Zufallsvektoren untersucht werden. Ein neuer Ansatz ermöglicht es dabei, die Analyse für die unterschiedlichen Max-Anziehungsbereiche zu vereinheitlichen, wobei besonderes Interesse dem Gumbel-Fall gilt. Der zweite Teil der Arbeit beschäftigt sich mit dem Extremwertverhalten einer bestimmten Form von Zeitreihen, die eine asymptotische Ähnlichkeit zu sogenannten ``Random Difference Equations'' (RDEs) aufweisen. Wir erweitern ein Resultat, welches eine einfache Darstellung des Prozessverhaltens bedingt auf ein extremes Ereignis zum Zeitpunkt Null erlaubt, für eine einzelne Zeitreihe auf zwe! i zusammenhängende Zeitreihen und zeigen Anwendungsmöglichkeiten. Im dritten Teil der Arbeit wird das Extremalverhalten von RDEs in Bezug auf die Charakteristik $\kappa$, dem Index der regulären Variation, untersucht. Es wird eine neue Methode für die Bestimmung dieser Größe vorgeschlagen, die auf den Ergebnissen von Kesten (1973) beruht.
Schlagwörter: Extremwerttheorie; Grenzwertsätze; Zeitreihen; Random Difference Equations; Multivariate Reguläre Variation; GARCH-Prozesse
 

Statistik

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