Zeit- und Volatilitätsstruktur von Zinssätzen - Modellierung, Implementierung, Kalibrierung

Abstract

Die vorliegende Dissertation folgt der Entwicklung der Zinsstrukturmodellierung seit den Anfängen in den späten 70ern des vorigen Jahrhunderts bis hin zu den heutigen multifaktoriellen, währungsübergreifenden Libor-Marktmodellen mit stochastischer Volatilität. Der Aufbau der Arbeit orientiert sich an der vorgenommenen Klassifizie-rung in die Gattung der klassischen Zinsstrukturmodelle, die das Gleichgewichtsmodell von Vasicek und das arbitragefreie Modell von Hull/White als entscheidende Entwick-lungsstufen hervorhebt, und in die modernen Ansätze der marktkonformen Modellierungstechnik, deren namhafteste Beispiele der Heath/Jarrow/Morton-Modellrahmen (HJM) und das Libor-Marktmodell (LMM) sind. Ungeachtet der Herleitung einer allgemeinen partiellen Differentialgleichung für beliebige Payoff-Funktionen, die wesentlich für die Bewertung von Zinsderivaten ist, wer-den die klassischen Zinsstrukturerklärungsansätze unter Abstraktion von dieser Technik grundlegend umgestaltet, indem sie in die Gussform der Martingal-Preistheorie hineinmodelliert werden. In einem weitergehenden Schritt wird ein Optionspreismodell mit funktionaler Abhängigkeit der Volatilität vom Zinssatz entwickelt. Des Weiteren wird die Äquivalenz des HJM-Konstrukts und des Hull/White-Zinsmodells für eine spezifische Volatilitätsfunktion nachgewiesen und argumentiert, dass der moderne Ansatz keine universale, in sich geschlossene Konstruktion definiert, sondern lediglich ein flexibleres Parametrisierungsvokabular zur Charakterisierung der Merkmale eines aus der Vielfalt von Modellierungsmethoden ausgewählten, klassischen Zinsstrukturmodells darstellt. Im zweiten Teil der Arbeit wird das LMM mit deterministischer Volatilitätsstruktur implementiert und unter dem Aspekt der perfekten Reproduktion der marktbeobachtbaren Black-Volatilitäten und der Implikationen für den benachbarten Swaptionmarkt kalibriert. Aus dem Versuch, eine simultane Kalibrierung sowohl an Caplets als auch an Swaptions zu erzwingen, resultiert die Feststellung einer eventuellen Inkongruenz zwischen den beiden Märkten. Im abschließenden Teil der Dissertation wird auf die Entwicklung eines Cross Currency LMM mit stochastischer Volatilität hingewiesen, das durch seine Parametrisierung den Skew (das Vanna-Risiko) und den Smile (das Volga-Risiko) der impliziten Volatilitätsstrutur steuern kann.