Weakly Regular Hyperbolic Boundary Value Problems of Real Type

by Santiago Correa née David Santiago Correa Cardeño
Doctoral thesis
Date of Examination:2023-06-23
Date of issue:2023-09-11
Advisor:Prof. Dr. Ingo Witt
Referee:Prof. Dr. Ingo Witt
Referee:Prof. Dr. Dorothea Bahns
Referee:Prof. Dr. Michael Ruzhansky
Sponsor:DAAD
Persistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-10090

 

 

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Size:666.Kb
Format:PDF
Description:Dissertation

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Abstract

English

In this thesis, we derive energy estimates for weakly regular hyperbolic boundary value problems of real type, for which the Lopatinskii condition degenerates in a specific way in the so-called hyperbolic region. Such boundary problems, commonly known in the literature as WR, are easily seen to be stable under small perturbations of the coefficients and the initial data. Moreover, their applications include many relevant physical situations like the formation of shock waves in isentropic gas dynamics and the subsonic phase transitions in a van der Waals fluid. In these and other WR problems, the failure of the uniform Lopatinskii condition plays a major role since it is associated to a loss of regularity in the scale of Sobolev spaces, eventually leading to energy estimates that might be ill-suited for dealing with nonlinear problems when solved by iteration. To circumvent this problem, one option is to apply a Nash-Moser-Hormander iterative scheme consisting of a two-step procedure that includes a smoothing operator to compensate for the loss of regularity at each iteration. Another alternative is to modify the underlying function spaces so that the a priori estimates do not experience a loss of regularity. In the course of this dissertation, we adopt the latter technique as a starting point and derive linear estimates for the model case that are comparable to existing results, but using a more robust approach that we later generalise to some extent to variable coefficients. The result represents a significant progress towards the ultimate goal of having a one-step technique applicable to nonlinear problems of this kind.
Keywords: Energy estimates; Lopatinskii condition; hyperbolic boundary value problems; WR class

German

In dieser Arbeit leiten wir Energieabschätzungen für schwach reguläre hyperbolische Randwertprobleme vom reellen Typ her, für die die Lopatinskii-Bedingung auf eine bestimmte Art und Weise in der sogenannten hyperbolischen Region entartet. Diese Randwertprobleme, in der Literatur allgemein als WR bekannt, sind stabil unter kleinen Störungen der Koeffizienten und der Anfangsdaten. Darüber hinaus finden sie in vielen relevanten physikalischen Situationen Anwendung, wie beispielsweise bei der Formierung von Stoßwellen in der isentropen Gasdynamik und bei Unterschall-Phasenübergängen in Van-der-Waals-Gasen. Bei diesen und anderen WR-Problemen spielt das Verletztsein der gleichmäßigen Lopatinskii -Bedingung eine wichtige Rolle, da dies mit einem Regularitätsverlust in der Skale der Sobolevräume einhergeht. Dies führt schließlich zu Energieabschätzungen, die für Behandlung von nichtlinearen Problemen wenig geeignet sind, wenn die Lösung dieser Probleme durch Iteration erfolgt. Eine Möglichkeit, die genannte Schwierigkeit zu umgehen, ist die Verwendung eines Nash-Moser-Hörmander-Iterationsschemas. Dieses besteht aus einem zweistufigen Verfahren, wobei ein Glättungsoperator eingeführt wird, um den Regularitätsverlust in jedem Iterationsschritt zu kompensieren. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die zugrundeliegenden Funktionenräume so zu modifizieren, dass die A-priori-Abschätzungen ohne einen Regularitätsverlust auskommen. In dieser Dissertation nehmen wir letztgenannten Zugang als Ausgangspunkt und leiten entsprechende lineare Abschätzungen für einen Modellfall her. Die Abschätzungen sind mit bestehenden Resultaten vergleichbar, jedoch robuster, sodass wir diese später in gewissem Umfang auf den Fall variabler Koeffizienten übertragen können. Unser Ergebnis stellt einen bedeutenden Fortschritt auf dem Weg zu einem einstufigen Iterationsverfahren dar, das schießlich auf nichtlineare Probleme der beschriebenen Art anwendbar sein wird.
 
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