Analysis of Implied Volatility Surfaces

Abstract

Die Volatilität von Finanzobjekten ist ein bedeutender Parameter im Risiko Management, beim Handel mit Portfolios und bei der Optionsbewertung. Implizite Volatilität (IV) erhält man aus der bekannten Black-Scholes (BS) Formel zur Optionsbewertung bei bekanntem Optionspreis. Ungeachtet seiner Fehlerhaftigkeit hat das BS Modell seine Popularität behalten und die resultierende IV ist eine Zustandsgröße von eigenem Interesse, die aktuelle Marktsituationen widerspiegelt. IVs bilden ein hochgradig korreliertes multivariates System und können für verschiedene Ausübungspreise und Restlaufzeiten nicht unabhängig entstehen. Daher sollte die IV Fläche als ein Ganzes analysiert werden indem verschiedene Querschnitte der Fläche (Kurven) simultan untersucht werden. Es ist üblich IVs als Funktionen von Restlaufzeit $\tau$ und Moneyness $\kappa$ der Option darzustellen, wobei Moneyness der Ausübungspreis geteilt durch den Future Preis ist. Um die Variation von IVs in Richtung von Moneyness und Restlaufzeit und in der Zeit zu untersuchen werden IV log returns benutzt, d.h. die log-Differenzen $IV_{t}(\kappa,\tau)-IV_{t-1}(\kappa,\tau)$ für Zeitpunkte $t$ und $t-1$. Die zeitabhängige Variation der Daten wird im allgemeinen mit Hilfe ihrer Hauptkomponenten analysiert. Es stellt sich heraus, dass die wesentlichen Arten der Variation an erster Stelle auf Verschiebungen der gesamten Fläche nach oben und unten zurückzuführen sind, an zweiter Stelle auf sich ändernde Steigung der Fläche in Moneyness- und in Restlaufzeitrichtung und an dritter Stelle auf Krümmungsänderungen. In dieser Arbeit analysieren wir einen weiteren Aspekt der IV log returns, nämlich die Variation, die innerhalb der log return Fläche auftritt. Wir interessieren uns dafür, wie die täglichen Änderungen der IV Smiles für verschiedene Optionsrestlaufzeiten variieren. Hierzu wenden wir eine neue Methode an, die das heteroskedastische Varianzmodell ausweitet auf ein Modell mit funktionalem Varianzprozess (FVP), eingeführt von Müller, Stadtmüller und Yao (2006). Indem zufällige Komponenten für die Variation berücksichtigt werden, können wir lokal sich ändernde Varianzen von Datenstrukturen mit steigender Komplexität modellieren. Die Methode kombiniert Methoden des nichtparametrischen Schätzens (lokale Polynomschätzer) und aus der Hauptkomponentenanalyse. Unsere empirischen Ergebnisse basieren auf einem Datensatz aus täglichen IV Flächen für Aktien, Index und Swap Optionen. Swap IVs bilden eine Ausnahme, da sie in Richtung Swap Laufzeit und Optionsrestlaufzeit beobachtet werden anstelle von Moneyness und Optionsrestlaufzeit im Falle von Aktien und Index Optionen. Aufgrund von strukturellen Unterschieden zwischen Daten für Optionen mit kurzer und langer Restlaufzeit haben wir uns entschlossen entsprechende Datensätze unabhängig voneinander zu untersuchen. Die resultierenden FVPs, für feste Zeitpunkte ermittelt, sind maximal in Regionen wo die Optionen in-the-money sind, d.h. wo Moneyness kleiner gleich eins ist, und fallen für steigende Moneyness Werte. Im Fall von Swap IV ist der Varianzprozess maximal für Swap Laufzeiten innerhalb von drei und fünf Jahren. Für die täglichen Änderungen der IVs bedeutet das, dass diese von einer Optionsrestlaufzeit zur anderen am meisten variieren, wenn Moneyness / Swap Laufzeit in der besagten Region liegt. Weiter haben wir FVPs für verschiedene Zeitpunkte bestimmt, um einen Eindruck von der zeitlichen Entwicklung der Prozesse zu bekommen und folglich von Schwankungen der täglichen Variation der IV Fläche in der Zeit. Die Form eines FVP bleibt gleich, d.h. unsere Ergebnisse für feste Tage sind auch generell gültig.