On the resolvent of the Laplacian on functions for degenerating surfaces of finite geometry
Über die Resolvente des Laplace-Operators auf Funktionen für degenerierende Flächen endlicher Geometrie
Michael Schulze
Doctoral thesis
Date of Examination:
2004-10-13
Date of issue:
2005-06-21
Advisor:
Bunke, Ulrich Prof. Dr.
Referee:
Patterson, Samuel James Prof. Dr.
Persistent Address: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-0006-B37D-7
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schulze.pdf
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593,7 KB
Format:
PDF
Description:
Dissertation
Abstract
English
We consider families $(Y_n)$ of degenerating hyperbolic surfaces. The surfaces are geometrically finite of fixed topological type. Let $Z_n$ be the Selberg Zeta function of $Y_n$, and let $Z^d_n$ be the contribution of the pinched geodesics to $Z_n$. Extending a result of Wolpert's, we prove that $Z_n(s)/Z^d_n(s)$ converges to the Zeta function of the limit surface for all $s$ with $\mathrm{Re}(s)>1/2$. The technique is an examination of resolvent of the Laplacian, which is composed from that for elementary surfaces via meromorphic Fredholm theory. The resolvent $(\Delta_n-t)^{-1}$ is shown to converge for all $totin[1/4,\infty)$. We also use this property to define approximate Eisenstein functions and scattering matrices.
Keywords: Selbergsche Zetafunktion; Degeneration; Resolvente
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Wir betrachten Familien $(Y_n)$ von degenerierenden hyperbolischen Flächen. Die Flächen sind geometrisch endlich von festem topologischem Typ. Sei $Z_n$ die Selbergsche Zetafunktion von $Y_n$, und sei $Z^d_n$ der Beitrag der zusammengezogenen Geodäten zu $Z_n$. Wir verschärfen ein Resultat Wolperts, indem wir zeigen, dass $Z_n(s)/Z^d_n(s)$ gegen die Zetafunktion der Limes-Fläche konvergiert, falls $\mathrm{Re}(s)>1/2$ gilt. Dazu untersuchen wir die Resolvente des Laplace-Operators. Sie wird durch meromorphe Fredholm-Theorie aus denen elementarer Flächen zusammengesetzt, und als Resultat erhalten wir die Konvergenz der Resolvente $(\Delta_n-t)^{-1}$ für alle $totin[1/4,\infty)$. Wir verwenden dieses Resultat außerdem dazu, approximative Eisenstein-Reihen und Streu-Matrizen einzuführen.
Schlagwörter: Selberg Zeta function; degenerating surfaces; resolvent
