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Analytische und numerische Untersuchungen bei inversen Transmissionsproblemen zur zeitharmonischen Wellengleichung

Analytical and numerical research for inverse transmission problems for the time-harmonic wave equation

von Christoph Schormann
Dissertation
Datum der mündl. Prüfung:2000-06-20
Erschienen:2001-05-25
Betreuer:Prof. Dr. Rainer Kreß
Gutachter:Prof. Dr. Rainer Kreß
Gutachter:Prof. Dr. Gert Lube
crossref-logoZum Verlinken/Zitieren: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2507

 

 

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Name:schormann.pdf
Size:1.73Mb
Format:PDF
Description:Dissertation
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Zusammenfassung

Englisch

Scattering theory deals with a scattering object´s effect that on an incident wave. In this context the time-harmonic wave equation is a mathematical model for the scattering of acoustic and electromagnetic fields.Basically two kinds of scattering problems can be distinguished. The direct problem consists of calculating the scattered field from the knowledge of the incident field, the scattering object and further problem parameters (for example material constants of the scattering object). The aim of the inverse problem is to reconstruct the scattering object (and possibly further parameters) from the knowledge of the incident and the scattered field.Whereas the direct problem has a unique solution that depends continuously on the data, this does not hold for the inverse problem. Therefore it is much harder to deal with from a theoretical as well as a numerical point of view.Modelling different physical conditions leads mathematically to different boundary value problems. In this context the transmission problem describes scattering by a penetrable object. This means that an incident field produces scattered fields in the exterior as well as the interior of the scattering objects.This thesis has three main parts. The first one deals with the direct transmission problem which is examined for a wide range of scattering objects. Furthermore algorithms for solving the direct problem for several objects are given.In the next part it is proven that the scattered fields depend analytically on the boundaries of the scattering objects and on the problem parameters. This justifies the use of a Newton method for the reconstruction procedure.The third main part is concerned with the numerical implementation of the theoretical results for the two dimensional transmission problem. Numerical examples are given for the direct and the inverse problem. In particular several scattering objects together with problem parameters are reconstructed.
Keywords: transmission problem; Helmholtz equation; inverse scattering problem

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Streuprobleme beschäftigen sich mit dem Einfluß von Streuobjekten auf einfallende Wellen. Die zeitharmonische Wellengleichung ist hierbei ein mathematisches Modell für die Streuung von akustischen und elektromagnetischen Feldern.Grundsätzlich können zwei Problemarten unterschieden werden. Beim direkten Problem wird aus der Kenntnis der einfallenden Welle, des Streuobjekts und weiterer Problemparameter (z.B. Materialeigenschaften des Streukörpers) das gestreute Feld berechnet. Ziel beim inversen Problem ist die Rekonstruktion des Streuobjekts (und eventuell weiterer Problemparameter) aus der Kenntnis des einfallenden und gestreuten Feldes.Während das direkte Problem eine eindeutige Lösung besitzt, die zudem stetig von den Daten abhängt, liegt diese Situation beim inversen Problem im allgemeinen nicht vor. Dadurch ist es sowohl theoretisch als auch numerisch erheblich schwieriger zu behandeln.Die Modellierung von verschiedenen physikalischen Gegebenheiten führt mathematisch auf unterschiedliche Randwertaufgaben. Transmissionsprobleme dienen hierbei als Beschreibung für durchstrahlbare Streukörper. In diesem Fall verursacht also ein einfallendes Feld sowohl im Außen- als auch im Innenraum der Streuobjekte gestreute Felder.Diese Arbeit hat drei Schwerpunkte. Der erste zentrale Teil behandelt das direkte Transmissionsproblem. Hierbei wird das Problem für sehr allgemeine Gebietskonstellationen betrachtet. Weiterhin werden Algorithmen für die numerische Umsetzung bei mehreren Gebieten angegeben.In einem weiteren Teil wird nachgewiesen, daß die gestreuten Felder analytisch von den Rändern der Streuobjekte und den Problemparametern abhängen. Dies rechtfertigt die Verwendung von Newton-Verfahren zur Rekonstruktion.Der dritte zentrale Teil beschäftigt sich mit der numerischen Umsetzung der theoretischen Ergebnisse beim zweidimensionalen Transmissionsproblem. Sowohl für das direkte als auch für das inverse Problem werden eine Reihe von Beispielen angegeben. Insbesondere werden auch mehrere Streuobjekte zusammen mit weiteren Problemparametern rekonstruiert.
Schlagwörter: Transmissionsproblem; Helmholtz-Gleichung; inverses Streuproblem
 

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