Kenngrößen für die Abhängigkeitsstruktur in Extremwertzeitreihen

Abstract

Die Abhängigkeitsstruktur von Extremwerten in uni- sowie multivariaten Zeitreihen kann mit Hilfe geeigneter Kenngrößen in vereinfachter Weise beschrieben werden. Zu nennen sind dabei zunächst die aus der Literatur bekannten Konzepte des multivariaten Extremal Index, des Extremal Coefficient sowie der Extremal Coefficient Function. Wir diskutieren Beziehungen zwischen diesen Kenngrößen, die u.a. eine Verbesserung der bekannten Grenzen für den multivariaten Extremal Index erlauben. In Anlehnung an das Theorem von Herglotz stellen wir im Anschluss eine Charakterisierung der ganzzahligen Extremal Coefficient Functions mit endlichem Range vor, die insbesondere auch die Rekonstruktion von Beispielprozessen zu gegebenen Extremal Coefficient Functions erlaubt. Der Beweis dieser Aussagen basiert maßgeblich auf einem eigenständigen Resultat, das als Äquivalenz der ganzzahligen Extremal Coefficient Functions und Mengenkovarianzfunktionen formuliert werden kann. Die vorgestellte Charakterisierung der Extremal Coefficient Functions zeigt insbesondere, dass solche extremalen Abhängigkeitsstrukturen, die den z.B. aus der Kristallographie bekannten homometrischen Sequenzen entsprechen, nicht von der Extremal Coefficient Function unterscheidbar sind. Wir schlagen eine Modifikation der Extremal Coeffcient Function vor, die dieses Problem umgeht und eine in der Praxis aussagefähige Interpretation aufweist. Wir betrachten abschließend eine Möglichkeit zur Bestimmung der modifizierten Extremal Coefficient Function für GARCH(1,1) Prozesse. Dazu stellen wir eine Erweiterung des bereits für den ARCH(1) Prozess bekannten Tail Chain Ansatzes vor.