The analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.
The analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.
Hassan Issa
Doctoral thesis
Date of Examination:
2012-06-19
Date of issue:
2012-06-21
Advisor:
Bauer, Wolfram PD Dr.
Referee:
Bauer, Wolfram PD Dr.
Referee:
Witt, Ingo Prof. Dr.
Persistent Address: http://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-000D-F066-5
Files in this item
Name:
issa.pdf
Size:
874,8 KB
Format:
PDF
The following license files are associated with this item:
Abstract
English
This dissertation is devoted to the study of certain analytic problems inspired by recent results in the theory of Toeplitz operators on the Bergman spaces. We attack the problem of commuting Toeplitz operators with quasi-homogeneous symbols on the Segal-Bargmann space over $\mathbb{C}$. For a fixed monomial $z^l\overline{z}^k$ we characterize the functions $\Psi$ of polynomial growth at infinity such that the Toeplitz operators $T_\Psi$ and $T_{z^l\overline{z}^k}$ commute on the space of all holomorphic polynomials over $\mathbb{C}$. Moreover, we construct two types of commutative Banach and $C^\star$-algebras generated by Toeplitz operators acting on the Segal-Bargmann spaces over $\mathbb{C}^n$. We show that the class of symbols which generate the commutative $C^\star$-algebra of Toeplitz operators generates also a $C^\star$-algebra of operators acting on the true-$k$-Fock spaces. Furthermore, we use Toeplitz operator theory techniques to construct the heat kernel of a class of positive sub-elliptic differential operators. As an application, we obtain the heat kernel of the Grusin operator on $\mathbb{R}^{n+1}$ as well as that of the sub-Laplace operator on the $(2n+1)$-dimensional Heisenberg group ($n\in\mathbb{N}$ is arbitrary). Finally, we switch our attention to a compactness criteria for Toeplitz operators $T^{\nu}_{g}$ acting on the standard weighted Bergman spaces over bounded symmetric domains. We obtain an estimate for the Berezin tansform $\tilde{g}_{\nu_0}$ in terms of the operator norm of $T^{\nu}_{g}$ whenever $\nu$ and $\nu_0$ are suitable weights. As a consequence, we prove that for a bounded function $g$ on a bounded symmetric domain the compactness of $T^{\nu}_{g}$ is independent of the weight parameter $\nu$.
Keywords: Bergman spaces; Toeplitz operators; commutative algebras; heat kernel construction; sub-elliptic Operators; Compact Toeplitz Operators; Berezin transform; Bounded symmetric domains
Other Languages
Diese Dissertation liefert einen Beitrag
zum Studium verschiedener durch neue Resultate im Gebiet der
Toeplitz Operatoren auf Bergman Räumen aufgeworfener analytischer
Probleme. Wir studieren Fragen zur Existenz und zur Konstruktion
kommutierender Toeplitz Operatoren mit quasi-homogenen Symbolen auf
dem Segal-Bargmann Raum über der komplexen Ebene $\mathbb{C}$. Zu
jedem gegebenen Monom $z^l\overline{z}^k$ charakterisieren wir
dabei insbesondere diejenigen Funktionen $F$ mit polynomiellem
Wachstum im Unendlichen, die zu kommutierenden Toeplitz Operatoren
$T_F$ und $T_{z^l\overline{z}^k}$ auf dem Raum der holomorphen
Polynome auf $\mathbb{C}$ führen. Wir konstruieren zwei Typen
kommutativer Banach und $C^*$-Algebren, die jeweils durch Toeplitz
Operatoren auf dem Segal-Bargmann Raum über $\mathbb{C}^n$ erzeugt
sind. Es wird gezeigt, dass die Klasse der dieser $C^*$-Algebren
zugrundeliegenden Operatorsymbole auch zu kommutativen Toeplitz
$C^*$-Algebren über den sog. {\it true-$k$-Fock Räumen} führt. Über
Techniken aus der Theorie der Toeplitz Operatoren werden die
Wärmeleitungskerne einer Klasse positiver sub-elliptischer
Differentialoperatoren konstruiert. Als Anwendung erhalten wir so
den Wärmeleitungskern des {\it Grusin Operators} auf
$\mathbb{R}^{n+1}$ und des sub-Laplace Operators auf der
$(2n+1)$-dimensionalen Heisenberg Gruppe. Schliesslich beschäftigt
sich die Arbeit mit Kompaktheitskriterien für Toeplitz Operatoren
$T_g^{\nu}$ auf den standard-gewichteten Bergman Räumen über
beschränkten symmetrischen Gebieten. Wir erhalten eine neue
Abschätzung der Berezin Transformation $\tilde{g}_{\nu_0}$ in
Ausdrücken der Operatornorm von $T_g^{\nu}$ im Falle geeignet
gewählter Gewichte $\nu$ und $\nu_0$. Als eine Anwendung zeigen
wir, dass für ein beschränktes Operatorsymbol $g$ auf einem
beschränkten symmetrischen Gebiet die Kompaktheit von $T_g^{\nu}$
unabhängig vom Gewichtsparameter $\nu$ ist solange $\nu$
hinreichend grofl gewählt wurde.
Schlagwörter: Bergman Räumen; Toeplitz Operatoren; Kommutativer Algebren; Wärmeleitungskerne; sub-ellipttischer operatoren; Kompakt Toeplitz operatoren; Berezin transformation; beschränkten symmetrichen Gebieten
