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The analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.

The analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.

by Hassan Issa
Doctoral thesis
Date of Examination:2012-06-19
Date of issue:2012-06-21
Advisor:PD Dr. Wolfram Bauer
Referee:PD Dr. Wolfram Bauer
Referee:Prof. Dr. Ingo Witt
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2580

 

 

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Name:issa.pdf
Size:874.Kb
Format:PDF
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Abstract

English

This dissertation is devoted to the study of certain analytic problems inspired by recent results in the theory of Toeplitz operators on the Bergman spaces. We attack the problem of commuting Toeplitz operators with quasi-homogeneous symbols on the Segal-Bargmann space over $\mathbb{C}$. For a fixed monomial $z^l\overline{z}^k$ we characterize the functions $\Psi$ of polynomial growth at infinity such that the Toeplitz operators $T_\Psi$ and $T_{z^l\overline{z}^k}$ commute on the space of all holomorphic polynomials over $\mathbb{C}$. Moreover, we construct two types of commutative Banach and $C^\star$-algebras generated by Toeplitz operators acting on the Segal-Bargmann spaces over $\mathbb{C}^n$. We show that the class of symbols which generate the commutative $C^\star$-algebra of Toeplitz operators generates also a $C^\star$-algebra of operators acting on the true-$k$-Fock spaces. Furthermore, we use Toeplitz operator theory techniques to construct the heat kernel of a class of positive sub-elliptic differential operators. As an application, we obtain the heat kernel of the Grusin operator on $\mathbb{R}^{n+1}$ as well as that of the sub-Laplace operator on the $(2n+1)$-dimensional Heisenberg group ($n\in\mathbb{N}$ is arbitrary). Finally, we switch our attention to a compactness criteria for Toeplitz operators $T^{\nu}_{g}$ acting on the standard weighted Bergman spaces over bounded symmetric domains. We obtain an estimate for the Berezin tansform $\tilde{g}_{\nu_0}$ in terms of the operator norm of $T^{\nu}_{g}$ whenever $\nu$ and $\nu_0$ are suitable weights. As a consequence, we prove that for a bounded function $g$ on a bounded symmetric domain the compactness of $T^{\nu}_{g}$ is independent of the weight parameter $\nu$.
Keywords: Bergman spaces; Toeplitz operators; commutative algebras; heat kernel construction; sub-elliptic Operators; Compact Toeplitz Operators; Berezin transform; Bounded symmetric domains

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Diese Dissertation liefert einen Beitrag zum Studium verschiedener durch neue Resultate im Gebiet der Toeplitz Operatoren auf Bergman Räumen aufgeworfener analytischer Probleme. Wir studieren Fragen zur Existenz und zur Konstruktion kommutierender Toeplitz Operatoren mit quasi-homogenen Symbolen auf dem Segal-Bargmann Raum über der komplexen Ebene $\mathbb{C}$. Zu jedem gegebenen Monom $z^l\overline{z}^k$ charakterisieren wir dabei insbesondere diejenigen Funktionen $F$ mit polynomiellem Wachstum im Unendlichen, die zu kommutierenden Toeplitz Operatoren $T_F$ und $T_{z^l\overline{z}^k}$ auf dem Raum der holomorphen Polynome auf $\mathbb{C}$ führen. Wir konstruieren zwei Typen kommutativer Banach und $C^*$-Algebren, die jeweils durch Toeplitz Operatoren auf dem Segal-Bargmann Raum über $\mathbb{C}^n$ erzeugt sind. Es wird gezeigt, dass die Klasse der dieser $C^*$-Algebren zugrundeliegenden Operatorsymbole auch zu kommutativen Toeplitz $C^*$-Algebren über den sog. {\it true-$k$-Fock Räumen} führt. Über Techniken aus der Theorie der Toeplitz Operatoren werden die Wärmeleitungskerne einer Klasse positiver sub-elliptischer Differentialoperatoren konstruiert. Als Anwendung erhalten wir so den Wärmeleitungskern des {\it Grusin Operators} auf $\mathbb{R}^{n+1}$ und des sub-Laplace Operators auf der $(2n+1)$-dimensionalen Heisenberg Gruppe. Schliesslich beschäftigt sich die Arbeit mit Kompaktheitskriterien für Toeplitz Operatoren $T_g^{\nu}$ auf den standard-gewichteten Bergman Räumen über beschränkten symmetrischen Gebieten. Wir erhalten eine neue Abschätzung der Berezin Transformation $\tilde{g}_{\nu_0}$ in Ausdrücken der Operatornorm von $T_g^{\nu}$ im Falle geeignet gewählter Gewichte $\nu$ und $\nu_0$. Als eine Anwendung zeigen wir, dass für ein beschränktes Operatorsymbol $g$ auf einem beschränkten symmetrischen Gebiet die Kompaktheit von $T_g^{\nu}$ unabhängig vom Gewichtsparameter $\nu$ ist solange $\nu$ hinreichend grofl gewählt wurde.
Schlagwörter: Bergman Räumen; Toeplitz Operatoren; Kommutativer Algebren; Wärmeleitungskerne; sub-ellipttischer operatoren; Kompakt Toeplitz operatoren; Berezin transformation; beschränkten symmetrichen Gebieten
 

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