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Index Theory and Positive Scalar Curvature

Index-Theorie und positive Skalarkrümmung

by Daniel Pape
Doctoral thesis
Date of Examination:2011-09-23
Date of issue:2012-06-22
Advisor:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Bernhard Hanke
crossref-logoPersistent Address: http://dx.doi.org/10.53846/goediss-2541

 

 

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Name:pape.pdf
Size:719.Kb
Format:PDF
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Abstract

English

Obstructions to the existence of positive scalar curvature metrics are considered. This thesis has two fairly independent parts. The first part of this thesis proves that the Roe (or coarse) index of the Dirac-Rosenberg operator vanishes in presence of a metric of uniformly positive scalar curvature outside a compact subset of an non-compact complete spin manifold. As an application of this result, Hanke-Pape-Schick's codimension two obstruction result to positive scalar curvature, which generalizes a previous result by Gromov-Lawson, is considered. The second part of this thesis provides a counterexample to a conjecture by Chang-Rosenberg-Weinberger about an homological criterion for the existence of positive scalar curvature metrics on totally non-spin manifolds. This example is a modification of Schick's counterexample to the (unstable) Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture.
Keywords: index theory; scalar curvature; Dirac operator; coarse geometry; coarse Index; Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture

Other Languages

Es werden Hindernisse zur Existenz von Metriken positiver Skalarkrümmung betrachtet. Die Arbeit hat zwei ziemlich voneinander unabhängige Teile. Der erste Teil der Arbeit zeigt, dass der Roe (oder grobe) Index des Dirac-Rosenberg-Operators in Gegenwart einer Metrik auf einer nicht-kompakten vollständigen Spin-Mannigfaltigkeit verschwindet, wenn diese gleichmäßig positive Skalarkrümmung außerhalb einer kompakten Teilmenge besitzt. Als Anwendung dieses Resultats, wird das Kodimension-zwei-Hindernis-Resultat von Hanke-Pape-Schick betrachtet, das ein vorhergehendes Resultat von Gromov-Lawson verallgemeinert. Der zweite Teil dieser Arbeit bringt ein Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Chang-Rosenberg -Weinberger über ein homologisches Kriterium für die Existenz von Metriken positiver Skalarkrümmung auf total nicht-spinbaren Mannigfaltigkeiten. Dieses Beispiel is eine Modifikation von Schicks Gegenbeispiel zur (unstabilen) Gromov-Lawson-Rosenberg-Vermutung.
Schlagwörter: Index-Theorie; Skalarkrümmung; Dirac-Operator; grobe Geometrie; grober Index; Gromov-Lawson-Rosenberg Vermutung
 

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