Index Theory and Positive Scalar Curvature
Index-Theorie und positive Skalarkrümmung
by Daniel Pape
Date of Examination:2011-09-23
Date of issue:2012-06-22
Advisor:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Thomas Schick
Referee:Prof. Dr. Bernhard Hanke
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Format:PDF
Abstract
English
Obstructions to the existence of positive scalar curvature metrics are considered. This thesis has two fairly independent parts. The first part of this thesis proves that the Roe (or coarse) index of the Dirac-Rosenberg operator vanishes in presence of a metric of uniformly positive scalar curvature outside a compact subset of an non-compact complete spin manifold. As an application of this result, Hanke-Pape-Schick's codimension two obstruction result to positive scalar curvature, which generalizes a previous result by Gromov-Lawson, is considered. The second part of this thesis provides a counterexample to a conjecture by Chang-Rosenberg-Weinberger about an homological criterion for the existence of positive scalar curvature metrics on totally non-spin manifolds. This example is a modification of Schick's counterexample to the (unstable) Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture.
Keywords: index theory; scalar curvature; Dirac operator; coarse geometry; coarse Index; Gromov-Lawson-Rosenberg conjecture
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Es werden Hindernisse zur Existenz von
Metriken positiver Skalarkrümmung betrachtet. Die Arbeit hat zwei
ziemlich voneinander unabhängige Teile. Der erste Teil der Arbeit
zeigt, dass der Roe (oder grobe) Index des
Dirac-Rosenberg-Operators in Gegenwart einer Metrik auf einer
nicht-kompakten vollständigen Spin-Mannigfaltigkeit verschwindet,
wenn diese gleichmäßig positive Skalarkrümmung außerhalb einer
kompakten Teilmenge besitzt. Als Anwendung dieses Resultats, wird
das Kodimension-zwei-Hindernis-Resultat von Hanke-Pape-Schick
betrachtet, das ein vorhergehendes Resultat von Gromov-Lawson
verallgemeinert. Der zweite Teil dieser Arbeit bringt ein
Gegenbeispiel zu einer Vermutung von Chang-Rosenberg -Weinberger
über ein homologisches Kriterium für die Existenz von Metriken
positiver Skalarkrümmung auf total nicht-spinbaren
Mannigfaltigkeiten. Dieses Beispiel is eine Modifikation von
Schicks Gegenbeispiel zur (unstabilen)
Gromov-Lawson-Rosenberg-Vermutung.
Schlagwörter: Index-Theorie; Skalarkrümmung; Dirac-Operator; grobe Geometrie; grober Index; Gromov-Lawson-Rosenberg Vermutung