Azumaya-Algebren und Oktavenalgebren auf algebraischen Varietäten
Azumaya algebras and octonion algebras on algebraic varieties
von Kristin Stroth
Datum der mündl. Prüfung:2013-10-23
Erschienen:2013-11-21
Betreuer:Prof. Dr. Ulrich Stuhler
Gutachter:Prof. Dr. Ulrich Stuhler
Gutachter:Prof. Dr. Thomas Schick
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Format:PDF
Description:Dissertation
Zusammenfassung
Englisch
We study noncommutative algebras over rings and on algebraic varieties. In the first part we give a criterion for whether or how far a central simple algebra over the function field of a projective variety could be extended as a sheaf of Azumaya algebras onto that variety. Furthermore, we examine the local structure of Azumaya algebras or more generally of maximal orders on surfaces given by the cyclic covering trick. The latter is a method introduced by Chan to construct maximal orders on surfaces, which furthermore have ramification exactly over a given curve. In the second part we study the not associative octonion algebras or more generally composition algebras over rings. We transfer well-known facts from the case of composition algebras over fields to the situation over rings. We examine octonion algebras and maximal orders over discrete valuation rings and prove a generalisation of a result of van der Blij and Springer about the local nature of maximal orders in the case of the rational numbers and of algebraic number fields to all noetherian integrally closed domains. Finally, we introduce a notion of sheaves of octonion algebras and of sheaves of maximal orders in octonion algebras on algebraic varieties.
Keywords: noncommutative algebra, algebraic surfaces, Azumaya algebra, maximal order, nonassociative algebra, octonion algebra, sheaf of algebras
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Wir behandeln nichtkommutative Algebren über Ringen und auf algebraischen
Varietäten. Im ersten Teil beschreiben wir ein Kriterium, das angibt, ob und wie weit sich eine gegebene Azumaya-Algebra über dem Funktionenkörper einer algebraischen Varietät als Garbe von Azumaya-Algebren auf die Varietät ausdehnen lässt. Außerdem untersuchen wir die lokale Struktur von Azumaya-Algebren oder allgemeiner von Maximalordnungen, die mit Hilfe des Cyclic-Covering-Tricks von Chan konstruiert werden. Mit dieser Methode lassen sich Maximalordnungen auf algebraischen Flächen konstruieren, die zudem genau über einer gewählten Kurve verzweigen.
Im zweiten Teil betrachten wir die nichtassoziativen Oktavenalgebren und allgemeiner auch Kompositionsalgebren über Ringen. Dabei übertragen wir die bekannten Aussagen von Kompositionsalgebren über Körpern auf die Situation von Algebren über Ringen. Wir untersuchen Oktavenalgebren und Maximalordnungen über diskreten Bewertungsringen und verallgemeinern ein Resultat von van der Blij und Springer über die lokale Natur von Maximalordnungen über den rationalen Zahlen und über algebraischen Zahlkörpern auf den Fall von beliebigen noetherschen, ganzabgeschlossenen Integritätsbereichen. Abschließend führen wir eine Definition von Garben von Oktavenalgebren und Garben von Maximalordnungen in Oktavenalgebren über algebraischen Varietäten ein.
Schlagwörter: Nichtkommutative Algebra, algebraische Flächen, Azumaya-Algebra, Maximalordnung, nichtassoziative Algebra, Oktave <Mathematik>, Algebrengarbe