Die Methode von Smolyak bei der multivariaten Interpolation

Abstract

Um mit Anstieg der Raumdimension gleichbleibend gute Resultate zu erzielen, muß bei vielen Interpolationsverfahren der Daten- und damit auch der Rechenaufwand in exponentieller Weise anwachsen. Abhilfe schafft die Methode von Smolyak, die in dieser Arbeit auf die Interpolation mit (radialen) Basisfunktionen angewandt wird. Als besonders geeignet erweist es sich, auf Basis von Tensorproduktfunktionen zu interpolieren, da diese bei entsprechender Wahl der univariaten Funktionen eine hinreichend hohe Glätte aufweisen. Bei gleichbleibender Datengröße ergeben sich damit Fehlerschranken, die im Vergleich zu eindimensionalen Ergebnissen fast optimal sind und sich mit Anwachsen der Raumdimension nicht wesentlich verschlechtern. In einigen Fällen werden dabei sogar exponentielle Approximationsgüten erzielt. Eine erhöhte Anwendungsbreite des Verfahrens wird dadurch erreicht, daß nicht nur ausschließlich auf dem dünnen Gitter, sondern auch auf einem allgemeineren Datensatz interpoliert werden kann.