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The analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.

dc.contributor.advisorBauer, Wolfram PD Dr.de
dc.contributor.authorIssa, Hassande
dc.date.accessioned2012-06-21T15:50:35Zde
dc.date.accessioned2013-01-18T13:24:42Zde
dc.date.available2013-01-30T23:50:56Zde
dc.date.issued2012-06-21de
dc.identifier.urihttp://hdl.handle.net/11858/00-1735-0000-000D-F066-5de
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.53846/goediss-2580
dc.description.abstractDiese Dissertation liefert einen Beitrag zum Studium verschiedener durch neue Resultate im Gebiet der Toeplitz Operatoren auf Bergman Räumen aufgeworfener analytischer Probleme. Wir studieren Fragen zur Existenz und zur Konstruktion kommutierender Toeplitz Operatoren mit quasi-homogenen Symbolen auf dem Segal-Bargmann Raum über der komplexen Ebene $\mathbb{C}$. Zu jedem gegebenen Monom $z^l\overline{z}^k$ charakterisieren wir dabei insbesondere diejenigen Funktionen $F$ mit polynomiellem Wachstum im Unendlichen, die zu kommutierenden Toeplitz Operatoren $T_F$ und $T_{z^l\overline{z}^k}$ auf dem Raum der holomorphen Polynome auf $\mathbb{C}$ führen. Wir konstruieren zwei Typen kommutativer Banach und $C^*$-Algebren, die jeweils durch Toeplitz Operatoren auf dem Segal-Bargmann Raum über $\mathbb{C}^n$ erzeugt sind. Es wird gezeigt, dass die Klasse der dieser $C^*$-Algebren zugrundeliegenden Operatorsymbole auch zu kommutativen Toeplitz $C^*$-Algebren über den sog. {\it true-$k$-Fock Räumen} führt. Über Techniken aus der Theorie der Toeplitz Operatoren werden die Wärmeleitungskerne einer Klasse positiver sub-elliptischer Differentialoperatoren konstruiert. Als Anwendung erhalten wir so den Wärmeleitungskern des {\it Grusin Operators} auf $\mathbb{R}^{n+1}$ und des sub-Laplace Operators auf der $(2n+1)$-dimensionalen Heisenberg Gruppe. Schliesslich beschäftigt sich die Arbeit mit Kompaktheitskriterien für Toeplitz Operatoren $T_g^{\nu}$ auf den standard-gewichteten Bergman Räumen über beschränkten symmetrischen Gebieten. Wir erhalten eine neue Abschätzung der Berezin Transformation $\tilde{g}_{\nu_0}$ in Ausdrücken der Operatornorm von $T_g^{\nu}$ im Falle geeignet gewählter Gewichte $\nu$ und $\nu_0$. Als eine Anwendung zeigen wir, dass für ein beschränktes Operatorsymbol $g$ auf einem beschränkten symmetrischen Gebiet die Kompaktheit von $T_g^{\nu}$ unabhängig vom Gewichtsparameter $\nu$ ist solange $\nu$ hinreichend grofl gewählt wurde.de
dc.format.mimetypeapplication/pdfde
dc.language.isoengde
dc.rights.urihttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/de
dc.titleThe analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.de
dc.typedoctoralThesisde
dc.title.translatedThe analysis of Toeplitz operators, commutative Toeplitz algebras and applications to heat kernel constructions.de
dc.contributor.refereeBauer, Wolfram PD Dr.de
dc.date.examination2012-06-19de
dc.subject.dnb510 Mathematikde
dc.subject.gokEDCA 360de
dc.subject.gokEDCA 350de
dc.subject.gokEDAD 550de
dc.subject.gokEDA 020de
dc.subject.gokECI 020de
dc.subject.gokECI 990de
dc.subject.gokECIA 150de
dc.subject.gokEDA 020de
dc.subject.gokEDAD 150de
dc.subject.gokEDCA 700de
dc.subject.gokEEE 010de
dc.subject.gokEEGJ 990de
dc.subject.gokEEHF 050de
dc.description.abstractengThis dissertation is devoted to the study of certain analytic problems inspired by recent results in the theory of Toeplitz operators on the Bergman spaces. We attack the problem of commuting Toeplitz operators with quasi-homogeneous symbols on the Segal-Bargmann space over $\mathbb{C}$. For a fixed monomial $z^l\overline{z}^k$ we characterize the functions $\Psi$ of polynomial growth at infinity such that the Toeplitz operators $T_\Psi$ and $T_{z^l\overline{z}^k}$ commute on the space of all holomorphic polynomials over $\mathbb{C}$. Moreover, we construct two types of commutative Banach and $C^\star$-algebras generated by Toeplitz operators acting on the Segal-Bargmann spaces over $\mathbb{C}^n$. We show that the class of symbols which generate the commutative $C^\star$-algebra of Toeplitz operators generates also a $C^\star$-algebra of operators acting on the true-$k$-Fock spaces. Furthermore, we use Toeplitz operator theory techniques to construct the heat kernel of a class of positive sub-elliptic differential operators. As an application, we obtain the heat kernel of the Grusin operator on $\mathbb{R}^{n+1}$ as well as that of the sub-Laplace operator on the $(2n+1)$-dimensional Heisenberg group ($n\in\mathbb{N}$ is arbitrary). Finally, we switch our attention to a compactness criteria for Toeplitz operators $T^{\nu}_{g}$ acting on the standard weighted Bergman spaces over bounded symmetric domains. We obtain an estimate for the Berezin tansform $\tilde{g}_{\nu_0}$ in terms of the operator norm of $T^{\nu}_{g}$ whenever $\nu$ and $\nu_0$ are suitable weights. As a consequence, we prove that for a bounded function $g$ on a bounded symmetric domain the compactness of $T^{\nu}_{g}$ is independent of the weight parameter $\nu$.de
dc.contributor.coRefereeWitt, Ingo Prof. Dr.de
dc.subject.topicMathematics and Computer Sciencede
dc.subject.gerBergman Räumende
dc.subject.gerToeplitz Operatorende
dc.subject.gerKommutativer Algebrende
dc.subject.gerWärmeleitungskernede
dc.subject.gersub-ellipttischer operatorende
dc.subject.gerKompakt Toeplitz operatorende
dc.subject.gerBerezin transformationde
dc.subject.gerbeschränkten symmetrichen Gebietende
dc.subject.engBergman spacesde
dc.subject.engToeplitz operatorsde
dc.subject.engcommutative algebrasde
dc.subject.engheat kernel constructionde
dc.subject.engsub-elliptic Operatorsde
dc.subject.engCompact Toeplitz Operatorsde
dc.subject.engBerezin transformde
dc.subject.engBounded symmetric domainsde
dc.subject.bk31.47de
dc.subject.bk31.46de
dc.subject.bk31.45de
dc.subject.bk31.41de
dc.subject.bk31.42de
dc.subject.bk31.43de
dc.subject.bk31.55de
dc.identifier.urnurn:nbn:de:gbv:7-webdoc-3576-9de
dc.identifier.purlwebdoc-3576de
dc.affiliation.instituteMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultätende
dc.identifier.ppn726474673de


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